Gleichmäßig verzögerte Bewegung


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Die Bremsbewegung

Eine Bremsbewegung ist eine beschleunigte Bewegung, immer dann wenn sich die Geschwindigkeit eines Körpers ändert, findet eine Beschleunigung statt. Im falle einer Bremsbewegung ist die Beschleunigung negativ, die Geschwindigkeit wird im laufe der Zeit kleiner.



Der Unterschied zwischen einer gleichmäßig beschleunigten und einer gleichmäßig verzögerten Bewegung liegt darin, dass der gleichmäßig beschleunigte Körper immer schneller wird, der gleichmäßig verzögerte Körper wird hingegen aus einer Anfangsgeschwindigkeit heraus immer langsamer, bis er schließlich zum stillstand kommt.

Gesetze der gleichmäßig verzögerten Bewegung

Bei einer gleichmäßig verzögerten Bewegung gilt:

Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz

\(v=a\cdot t + v_0\,\,\,\,\) wobei \(a\lt 0\)

Weg-Gesetz

\(s=\frac{1}{2}a\cdot t^2 + v_0\cdot t\,\,\,\,\) wobei \(a\lt 0\)

Dabei ist \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers

Für die Mittlerebeschleunigung \(\overline{a}\) gilt:

\(\overline{a}=\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{\overline{s}}\)

Dabei ist \(\overline{s}\) der Bremsweg.


Die Beschleunigung \(a\) eines gleichmäßig verzögerten Körpers ist während der gesamten Bewegung konstant und negativ.

Eine negative Beschleunigung wird in diesem Zusammenhang verzögerung genannt.

Bremsvorgang für ein Auto

Betrachten wir ein Auto das mit \(100\frac{km}{h}\) fährt und plötzlich bremsen muss. Der Bremsweg des Autos wurde gemessen und es stellte sich heraus, dass Auto benötigte \(35m\) bis es zum Stillstand kam.

Das entspricht einer mittleren Verzögerung bzw. Bremsbeschleunigung von:

\(\overline{a}=-\frac{1}{2}\frac{(27,7\frac{m}{s})^2}{35m}=-10,96\frac{m}{s^2}\)

Im Straßenverkehr liegt die durchschnittliche Bremsbeschleunigung bei etwa \(-8\frac{m}{s^2}\). Die Bremsbeschleunigung ist stark davon abhängig in welchen zustand die Autoreifen sind und wie die Bodengegebenheiten sind. Auf nasser Straße oder gar vereister Straße kann die Bremsbeschleunigung auf unter \(-1\frac{m}{s^2}\) sinken.

Bremsweg und Anhalteweg

Beim Bremsen eines Autos ist nicht nur der Bremsweg entscheidend dafür ob es zu einem Unfall kommt oder nicht, denn zunächst dauert es, bis der Fahrer überhaupt auf die Situation reagieren kann. Diese Zeit nennt man Reaktionszeit, in dieser Zeit fährt das Auto mit gleich hoher Geschwindigkeit weiter. Die in dieser Zeit zurückgelegte Srecke wird Reaktionsweg genannt.

Als Anhalteweg bezeichnet man die Summe aus Bremsweg und Reaktionsweg.

Reaktionszeit

Die Reaktionszeit ist die Zeitspanne zwischen dem Erkennen einer gefahren Situation und dem Beginn der darauf gerichteten Reaktion bzw. Handlung. Die Reaktionszeit eines Fahrers auf visuelle Reize liegt bei ca. 0,2 bis 0,3 Sekunden. Durch Ablenkung, Müdigkeit oder Ähnliches kann sich die Reaktionszeit des Fahrers verlängern. Zusätzlich zur mentalen Reaktionszeit, kommt beim Bremsen noch die Fußumsetzzeit und die Ansprechzeit des Autos dazu. Rechnet man alle diese Zeiten zusammen, so kommt man auf eine Reaktionszeit von ca. 1 Sekunde.

Während dieser Reaktionszeit fährt das Auto ungebremmst weiter, den Weg den das Auto in dieser Zeit zurücklegt nennt man Reaktionsweg

Bei einem Auto das \(100\frac{km}{h}=27,7\frac{m}{s}\) schnell fährt, beträgt der Reaktionsweg bei einer Reaktionszeit von 1 Sekunde gerade \(27,7m\)

Anhalteweg berechnen

Wie bereits erwähnt setzt sich der Anhalteweg zusammen aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg

Formel für den Anhalteweg:

Anhalteweg = Reaktionsweg + Bremsweg

\(s_a = s_r + s_b\)


Beispiel:

Nehmen wir mal an ein Auto fährt mit \(90\frac{km}{h}\), dass sind \(25\frac{m}{s}\), das Auto hat eine Bremsbeschleunigung von \(-8\frac{m}{s}\). Der Fahrer des Autos hat eine Reaktionszeit von einer Sekunde.

Reaktionsweg berechnen:

Bevor der Fahrer auf die Bremse drückt, fährt das Auto mit gleichbleibnder Geschwindigkeit weiter. Die Bewegung des Autos ist also eine gleichförmige Bewegung, es gelten also die Gesetze der gleichförmigen Bewegung.

Der Reaktionsweg lässt sich mittels Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung berechnen:

\(s = v\cdot t\)

Dabei ist \(s\) der Reaktionsweg \(s_r\)und \(t\) ist die Reaktionszeit \(t_r\). Der Reaktionsweg ist also:

\(s_r = v\cdot t_r\)

Wir setzen nun die Werte ein und erhalten für den Reaktionweg:

\(s_r = 25\frac{m}{s}\cdot 1s=25m\)

Der Reaktionsweg beträgt \(25m\).

Bremsweg berechnen:

Wir gehen bei der Berechnung des Bremswegs von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit negativer Beschleunigung aus. Es gelten also die Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

\(s =\frac{1}{2}a\cdot t^2\)

Die Bremszeit ist im moment noch unbekannt, dafür kennen wir aber die Geschwindigkeit \(v\) des Autos. Wir benötigen also zusätzlich noch das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der beschleunigten Bewegung:

\(v = a\cdot t\)

Wir können also nun die Zeit \(t\) ersetzen:

\(t = \frac{v}{a}\) und damit \(t^2=\frac{v^2}{a^2}\)

Wir können nun \(t^2\) in das Weg-Zeit-Gesetz einsetzen und erhalten:

\(s = \frac{v^2}{2\cdot a}\)

Einsetzen der Werte liefert uns anschließend den Bremsweg:

\(s =\frac{(25\frac{m}{s})^2}{2\cdot 8\frac{m}{s^2}}=39,06m\)

Der Bremsweg beträgt \(39,06m\).

Anhalteweg berechnen:

Der Anhalteweg setzt sich aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammen:

\(s_a = s_r + s_b=25m+39,06m=64,06m\)

Der Anhalteweg beträgt \(64,06m\).

Allgemeine Formel für den Anhalteweg:

Anhalteweg = Reaktionsweg + Bremsweg

\(s_a = s_r + s_b=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot a}\)


Zusammenhänge

Wie bereits erwähnt hängt der Reaktionsweg von der Reaktionszeit und der Geschwindigkeit ab. Dabei ist der Reaktionsweg proportional zur Geschwindigkeit und proportional zur Reaktionszeit. Verdoppelt sich also die Geschwindigkeit oder die Reaktionszeit, dann verdoppelt sich auch der Reaktionsweg.

Anders sieht es für den Bremsweg aus, der Bremsweg hängt von der Bremsbeschleunigung und von dem Quadrat der Geschwindigkeit ab. Das bedeutet:

  • Verdoppelt sich die Geschwindigkeit, dann vervierfacht sich der Bremsweg.

  • Halbiert sich die Bremsbeschleunigung, dann verdoppelt sich der Bremsweg.