Rotationsbewegung
Online Rechner mit Rechenweg
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Die Drehbewegung
Rotiert ein Körper um eine Drehachse, so bezeichnet man die Bewegung als Drehbewegung bzw. Rotationsbewegung. Ist die Winkelgeschwindigkeit der Rotation konstant, so bezeichnet man die Bewegung als gleichförmige Drehbewegung (Rotationsbewegung).
Die einzelnen Punkte eines starren Körpers führen während der Rotationsbewegung eine Kreisbewegung durch.
Was ist eine Rotationsbewegung?
Eine Rotationsbewegung bzw. Drehbewegung liegt vor, wenn ein starrer Körper um eine Achse rotiert. Ein Beispiel dafür wäre die Bewegung einer CD in einem CD-Player oder die Bewegung eines Riesenrads.
Gleichförmige Rotationsbewegung
Eine gleichförmige Rotationsbewegung liegt vor, wenn die Winkelgeschwindigkeit konstant ist.
Winkelgeschwindigkeit
Eine Rotationsbewegung kann mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) beschrieben werden. Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, welchen Winkel \(\varphi\) in einem bestimmten Zeitintervall \(\Delta t\) überstrichen wird.
\(\begin{aligned} \omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t} \end{aligned}\)
Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit wird in Bogenmaß angegeben. Statt die Angabe "Grad pro Sekunde", wird die Winkelgeschwindigkeit in \(\frac{rad}{s}\) (Radiant pro Sekunde) angegeben. Im Bogenmaß entpricht ein Umlauf (\(360^{\circ}\)) einen Winkel von \(\varphi=2\pi\).
Um die Formel für die Winkelgeschwindigkeit herleiten zu können, nutzen wir aus, dass innerhalb einer Umlaufdauer \(T\) ein Winkel von \(2\pi\) überstrichen wird. Die Winkelgeschwindigkeit lautet somit:
\(\begin{aligned} \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f \end{aligned}\)
wobei \(f\) die Frequenz ist.
\(\begin{aligned} f=\frac{1}{T} \end{aligned}\)
Winkelgeschwindigkeit Formel
\(\begin{aligned} \omega=\frac{2\pi}{T} \end{aligned}\)
Bahngeschwindigkeit
Die Bahngeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich die einzelnen Punkte des rotierenden Körpers entlang ihrer jeweiligen Kreisbahn bewegen. Je weiter entfernt ein Punkt von der Drehachse ist, desto größer ist seine Bahngeschwindigkeit. Die Bahngeschwindigkeit kann folgendermaßen berechnet werden:
\(\begin{aligned} v=\frac{\Delta s}{\Delta t} \end{aligned}\)
Wobei \(\Delta s\) für ein Streckenabschnitt steht und \(\Delta t\) für den Zeitabschnitt, welcher vom Punkt benötigt wird um den Streckabschnitt \(\Delta s\) zurück zu legen.
Für die Herleitung der Formel für die Bahngeschwindigkeit, nutzen wir als Streckabschnitt \(\Delta s\), eine volle Umrundung. Bewegt sich ein Punkt des starren Körpers auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\), so ist der Umfang \(U\) der Kreisbahn genauso groß wie die Strecke welche innerhalb einer Umrundung zurück gelegt wird.
\(\begin{aligned} U = 2\pi r \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \Delta s &=U\\ \\ \Delta s &=2\pi r \end{aligned}\)
Um die Formel für die Bahngeschwindigkeit berechnen zu können, benötigt man zusätzlich zum Streckabschnitt \(\Delta s\) noch den Zeitabschnitt \(\Delta t\) welcher benötigt wird, um \(\Delta s\) zurück zu legen. Da wir als \(\Delta s\) eine voll Umrundung betrachten, ist \(\Delta t=T\). Denn innerhalb einer Umlaufdauer \(T\) findet eine volle Umrundung statt.
Für die Bahngeschwindigkeit folgt somit:
\(\begin{aligned} v=\frac{2\pi r}{T} \end{aligned}\)
Wie man sieht, ist die Bahngeschwindigkeit abhängig vom Radius \(r\) der Kreisbahn.
Die Bahngeschwindigkeit kann auch über die Frequenz \(f\) ausgedürck werden. Dazu verwendet man:
\(\begin{aligned} T&=\frac{1}{f} \end{aligned}\)
Für die Bahngeschwindigkeit folgt somit:
\(\begin{aligned} v&=\frac{2\pi r}{T}\\ \\ v&=2\pi rf \end{aligned}\)
Bahngeschwindigkeit Formel
Bahngeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Umlaufdauer:
\(\begin{aligned} v=\frac{2\pi r}{T} \end{aligned}\)
Bahngeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Frequenz:
\(\begin{aligned} v=2\pi rf \end{aligned}\)
Merke
Die Bahngeschwindigkeit ist vom Radius \(r\) der Kreisbahn abhängig.
Zusammenhang zwischen der Bahngeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit
Die Bahngeschwindigkeit \(v\) eines Punktes des starren Körpers kann über die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden. Dazu muss jedoch der Radius \(r\) der jeweiligen Kreisbahn bekannt sein.
\(\begin{aligned} v=\omega\cdot r \end{aligned}\)
Alle Punkte des starren Körpers habe die gleiche Winkelgeschwindigkeit. Je nach Radius besitzen sie jedoch unterschiedliche Bahngeschwindigkeiten.
Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit
\(\begin{aligned} v=\omega\cdot r \end{aligned}\)
Je weiter entfernt ein Punkt von der Drehachse ist, desto größer ist seine Bahngeschwindigkeit.