Wurzelfunktion ableiten


Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=x^2\) abzuleiten, geh auf den knopf \(\frac{df}{dx}\) und gib \(x^2\) ein. Dann kannst du auf lösen drücken und du erhälts die Ableitung deiner Funktion. Teste den Rechner aus.



Wurzelfunktion ableiten

\(\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{x}\\ \\ f'(x)&=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned}\)





Wie leitet man eine Wurzelfunktion ab?

Die Ableitung einer Wurzelfunktion ist sehr einfach, man muss nur wissen wie man eine Wurzelfunktion in eine Potenzfunktion umschreibt. Anschließend kann man mit der Potenzregel die Ableitung durchführen. Hier findest du übrigens alles über die Wurzelfunktion.

Wurzelfunktion umschreiben

Eine Wurzelfunktion kann man folgendermaßen mit einem Exponenten umschreiben.

\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)

\(\implies \big(\sqrt{x}\big)'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Dabei wurde die Potenzregel verwendet.

Potenzregel

Ableitung von \(f(x)=x^n\)


\(f'(x)=n\cdot x^{n-1}\)


Möchte man die Wurzel Funktion nicht erst in eine Potenzfunktion umwandeln, so kann man sich die Ableitung von Wurzel x \((\sqrt{x})\) auch einfach merken.

Regel:

Wurzelfunktion ableiten

Ableitung von \(f(x)=\sqrt{x}\)

\(f'(x)=\)\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Wenn jedoch in der Wurzelfunktion nicht nur ein \(x\) steht (zb. \(\sqrt{2x}\)), so muss man die Kettenregel anwenden um die Ableitung der Wurzelfunktion richtig zu berechnen.

Achtung

Wenn in der Wurzelfunktion nicht nur ein \(x\) steht, so muss man die Kettenregel anwenden.


Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=\sqrt{2x}\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=\sqrt{x}\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=2x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{2x}}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)} \\ \\ &=\frac{1}{\sqrt{2x}} \end{aligned}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{\sqrt{2x}} \end{aligned}\)

Beispiel 2

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=\sqrt{x^3}\)

Lösung:

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=\sqrt{x}\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^3\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^3}}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{3x^2}_{h'(x)} \\ \\ &=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}} \end{aligned}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}} \end{aligned}\)

Solche Aufgaben zur Ableitung von Wurzelfunktionen kann man mit dem Ableitungsrechner von Simplexy ganz einfach ausrechnen lassen. So kannst du deine Lösungen selbstständig überprüfen.

Beispiel 3

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=\sqrt{x^2+x}\)

Lösung:

Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun

\(f(x)=g(h(x))\)

daher müssen wir die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.

In dem Fall lautet die äußere Funktion:

\(g(x)=\sqrt{x}\)

und die innere Funktion lautet:

\(h(x)=x^2+x\)

Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:

\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Wendet man das an, so erhält man:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x+1}_{h'(x)} \\ \\ &=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}} \end{aligned}\)

Als Lösung erhalten wir damit:

\(\begin{aligned} f'(x)&=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}} \end{aligned}\)





Allgemeines Zur Wurzelfunktion

Die einfachste Art sich eine Wurzelfunktion vorzustellen ist, Sie als die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion zu betrachten. Je nachdem was für ein Exponenten man hat, erhält man Wurzeln von verschiedenem Grad. In der Schule verwendet man meist die (Quadrat-)Wurzel \(\sqrt{x}\). Sie ist die Umkehrfunktion der Funktion \(x^2\) welche als Parabel bezeichnet wird.

Schreibweisen der Wurzelfunktion

\(\begin{aligned} f(x)&=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\\ f(x)&=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}} \end{aligned}\)


Eine Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion:

\(y=x^n \iff x=y^{1/n}=\sqrt[n]{y}\)

Mathematische Herleitung:

\(y=x^n \,\,\,\,\,\,\)\(|(...)^{\frac{1}{n}}\)

\(y^{\frac{1}{n}}=(x^n)^{\frac{1}{n}}=x^{n\cdot\frac{1}{n}}=x \)

\(\implies x=y^{1/n}=\sqrt[n]{y}\)