Minus Cosinus Funktion ableiten
Ableitungsrechner
Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=-cos(x)\) abzuleiten, kannst du die Funktion in das Eingabefeld eingeben. Dann kannst du auf ableiten drücken und du erhälts die Ableitung deiner Cosinusfunktion. Teste den Rechner aus.
Minus Cosinusfunktion ableiten
\(\begin{aligned} f(x)&=-cos(x)\\ \\ f'(x)&=sin(x) \end{aligned}\)
Wie leitet man die Minus Cosinus Funktion ab?
Die Ableitung vom Minus Cosinus ist sehr einfach, denn die Ableitung der Minus Cosinusfunktion ergibt die Sinusfunktion, dass kann man sich sehr leicht merken. Wenn jedoch im Argument vom Minus Cosinus nicht nur ein \(x\) steht z.B \(-cos(x+2)\), so muss man die Kettenregel anwenden.
Regel:
Minus Cosinus ableiten
Die Ableitung vom Minus Cosinus ergibt die Sinus Funktion.
Ableitung von \(f(x)=-cos(x)\) ergibt:
\(f'(x)=sin(x)\)
Beispiel 1
Berechne die Ableitung der Funktion
\(f(x)=-cos(2x)\)
Lösung:
Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun
\(f(x)=g(h(x))\)
daher müssen wir die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.
In dem Fall lautet die äußere Funktion:
\(g(x)=-cos(x)\)
und die innere Funktion lautet:
\(h(x)=2x\)
Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:
\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)
Wendet man das an, so erhält man:
\(f'(x)=\underbrace{sin(2x)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)
Als Lösung erhalten wir damit:
\(f'(x)=2\cdot sin(2x)\)
Beispiel 2
Berechne die Ableitung der Funktion
\(f(x)=-cos(2x+1)\)
Lösung:
Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun
\(f(x)=g(h(x))\)
daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.
In dem Fall lautet die äußere Funktion:
\(g(x)=-cos(x)\)
und die innere Funktion lautet:
\(h(x)=2x+1\)
Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:
\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)
Wendet man das an, so erhält man:
\(f'(x)=\underbrace{sin(2x+1)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\)
Als Lösung erhalten wir damit:
\(f'(x)=2\cdot sin(2x+1)\)
Merke
Beim Ableiten der Minus Cosinusfunktion hat man es in den meisten Fällen mit einer Verkettung zu tun. Bei der Ableitung einer verketteten Minus Cosinusfunktion muss man stets die Kettenregel anwenden. Oft wir die Kettenregel auch als "Äußere mal Innere Ableitung" bezeichnet.
Beispiel 3
Berechne die Ableitung der Funktion
\(f(x)=-cos(x^2)\)
Lösung:
Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun
\(f(x)=g(h(x))\)
daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.
In dem Fall lautet die äußere Funktion:
\(g(x)=-cos(x)\)
und die innere Funktion lautet:
\(h(x)=x^2\)
Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:
\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)
Wendet man das an, so erhält man:
\(f'(x)=\underbrace{sin(x^2)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x}_{h'(x)}\)
Als Lösung erhalten wir damit:
\(f'(x)=2x\cdot sin(x^2)\)
\(f'(x)=\underbrace{2x}_{\text{innere abgeleiten}} \cdot \underbrace{sin(x^2)}_{\text{äußere abgeleiten}}\)
Beispiel 4
Berechne die Ableitung der Funktion
\(f(x)=-cos(x^2+x)\)
Lösung:
Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun
\(f(x)=g(h(x))\)
daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten.
In dem Fall lautet die äußere Funktion:
\(g(x)=-cos(x)\)
und die innere Funktion lautet:
\(h(x)=x^2+x\)
Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet:
\(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\)
Wendet man das an, so erhält man:
\(f'(x)=\underbrace{sin(x^2+x)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2x+1}_{h'(x)}\)
Als Lösung erhalten wir damit:
\(f'(x)=(2x+1)\cdot sin(x^2+x)\)
\(f'(x)=\underbrace{(2x+1)}_{\text{innere abgeleiten}}\cdot \underbrace{sin(x^2+x)}_{\text{äußere abgeleiten}}\)
Allgemeines zur Cosinusfunktion
Die Cosinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen welche oft auch als Winkelfunktionen bezeichnet werden. Die Trigonometrie ist eine Lehre, die sich mit Längen und Winkeln in Dreiecken beschäftigt. Doch nicht nur dort kommt die Cosinusfunktion zum Einsatz. Sowohl der Sinus als auch der Kosinus gehören zu den elementaren Funktionen der Mathematik. Sie werden unter anderem auch in der Analysis gebraucht und sind in der Physik, insbesondere im Gebiet der Wellen und Schwingungen allgegenwärtig.