Ableitung Summenregel


Ableitungsrechner

Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=x^2\) abzuleiten, geh auf den knopf \(\frac{df}{dx}\) und gib \(x^2\) ein. Dann kannst du auf lösen drücken und du erhälts die Ableitung deiner Funktion. Teste den Rechner aus.



Summenregel



Funktion ableiten mit der Summenregel

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der Summenregel.

Bei der Summenregel handelt es sich im eine Ableitungsregel die man benutzt um Funktionen der Form \(f(x)=g(x)+h(x)\) abzuleiten.

Regel:

Summenregel

Ableitung von \(f(x)=g(x)\pm h(x)\)


\(f'(x)=g'(x)\pm h'(x)\)





Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=x^2+x\)

Lösung:

Wir haben es hier mit der Summe aus einer quadratischen Funktion und einer linearen Funktion zu tun. Wir müssen also die Ableitung über die Summenregel berechnen. Dazu müssen wir jeden Summanden einzeln ableiten.

\(f(x)=\textcolor{green}{x^2}+\textcolor{blue}{x}\)

\(\implies\)

\(f'(x)=\textcolor{green}{2x}+\textcolor{blue}{1}\)



Beispiel 2

Wie lautet die Ableitung der folgenden Funktion

\(f(x)=2x^3-x^2\)

Lösung:

Wir müssen wieder jeden Summanden für sich selbst ableiten. Die Summenregel wird auch bei einem Minus angewendet:

\(f(x)=\textcolor{green}{2x^3}-\textcolor{blue}{x^2}\)

\(\implies\)

\(f'(x)=\textcolor{green}{6x^2}-\textcolor{blue}{2x}\)



Beispiel 3

Berechne die Ableitung der Funktion

\(f(x)=x^5-3x^4+x^2\)

Lösung:

Wir müssen wieder jeden Summanden für sich selbst ableiten.

\(f(x)=\textcolor{green}{x^5}-\textcolor{blue}{3x^4}+\textcolor{red}{x^2}\)

\(\implies\)

\(f'(x)=\textcolor{green}{5x^4}-\textcolor{blue}{12x^3}+\textcolor{red}{2x}\)





Aufgaben

Leite die folgenden Funktionen mit Hilfe der Faktorregel ab.

  • \(f(x)=3\cdot x^2+x^4\)
  • \(f(x)=2\cdot x+4x^2\)
  • \(f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{-3}-x^3\)