pq-Formel


pq-Formel Rechner

Mit dem pq-Formel Rechner von Simplexy kannst du ganz simple die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen, eine Parabel zeichnen lassen, die pq-Formel online berechnen uvm.



Quadratische Gleichung lösen




Muss man eine quadratische Gleichung lösen, welche in der folgenden Form gegeben ist

\(x^2+px+q=0\)

Dann muss man die pq-Formel anwenden

pq-Formel

\(x_{1/2}=\)\(-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)

Fallunterscheidung

\(\begin{aligned} x_{1}=-\frac{p}{2}\textcolor{red}{-}\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x_{1}=-\frac{p}{2}\textcolor{green}{+}\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \end{aligned}\)

Die pq-Formel hat zwei Lösungen \(x_{1}\) und \(x_{2}\), denn eine quadratische Gleichung kann bis zu zwei Lösungen bestizen. Um die Anzahl an Lösungen einer quadratischen Gleichung zu ermitteln, muss man die Diskriminante berechnen.

\(\begin{aligned} D=\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q \end{aligned}\)

Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel in der pq-Formel. Es gilt:


Diskriminante

Die Anzahl an Lösungen einer quadratischen Gleichung erhältst du über die Diskriminante D

\(\begin{aligned} D=\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q \end{aligned}\)

  • Wenn \(D\) kleiner als null ist, dann existiert keine Lösung.
  • Wenn \(D=0\) ist, dann existiert genau eine Lösung.
  • Wenn \(D\) größer als null ist, dann existieren zwei Lösungen.

Parabel Nullstellen berechnen



Möchte man die Nullstellen einer Parabel berechnen, so kommt die pq-Formel zum einsatz. Eine Parabel bzw. eine quadratische Funktion kann wie folgt dargestellt werden:

\(f(x)=x^2+px+q\)

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen zu können benötigt man die pq-Formel oder Mitternachtsformel. Manchmal wird die Mitternachtsformel auch abc-Formel genannt.

Im unteren Bild sind die Graphen zweier Parabeln abgebildet, die blaue Parabel besitzt keine Nullstellen während die rote Parabel zwei Nullstellen besitzt.


pq-Formel Nullstellen berechnen

Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen. Die Nullstellen einer Parabel der Form

\(f(x)=x^2+px+q\)

berechnen sich über die pq-Formel:

\(x_{1/2}=\)\(-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)



Nullstellen von Parabeln berechnen

Vorgehen

  1. Quadratische Funktion in die Normalform bringen.

  2. \(p\) und \(q\) aus der Normalform ablesen.

  3. \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen.

  4. pq-Formel ausrechnen.



pq-Formel Nullstellen berechnen Beispiele

In den folgenden Beispielen wird gezeigt wie man die pq-Formel anwenden kann um die Nullstellen von Parabeln zu berechnen.

Beispiel 1:

\(f(x)=x^2-6x-7\)

Die Funktion befindet sich bereits in der Normalform. Wir können also direkt zum zweiten Schritt übergehen und \(p\) und \(q\) ablesen.

\(p=-6\) und \(q=-7\)

Nun müssen wir \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q}\\ \\ &=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{-6}{2}\Big)^2-(-7)}\\ \\ &=3\pm\sqrt{9+7}\\ \\ &=3\pm\sqrt{16}\\ \end{aligned}\)

Fallunterscheidung:

  • \(x_{1}=3-\sqrt{16}=-1\)

  • \(x_{2}=3+\sqrt{16}=7\)

Die Nullstellen der Parabel befinden sich somit bei
\(x_1=-1\) und \(x_2=7\).



Beispiel 2:

\(f(x)=x^2-4x+4\)

Die Funktion befindet sich bereits in der Normalform. Wir können also direkt zum zweiten Schritt übergehen und \(p\) und \(q\) ablesen.

\(p=-4\) und \(q=4\)

Nun müssen wir \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q}\\ \\ &=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{-4}{2}\Big)^2-4}\\ \\ &=2\pm\sqrt{4-4}\\ \\ &=2\pm\textcolor{blue}{\sqrt{0}}\\ \end{aligned}\)

Diese Parabel hat nur eine einzige Nullstelle bei \(x_0=2\). Über die Diskriminante kann man berechnen wie viele Nullstellen eine Parabel besitzt. Indiesem Fall hat die Diskriminante den Wert Null:

\(D=\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q=4-4=0\)

Damit hat diese quadratische Funktion nur eine einzige Nullstelle.



Beispiel 3:

\(f(x)=x^2-4x+10\)

Die Funktion befindet sich bereits in der Normalform. Wir können also direkt zum zweiten Schritt übergehen und \(p\) und \(q\) ablesen.

\(p=-4,\) \(q=10\)

Nun müssen wir \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q}\\ \\ &=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{-4}{2}\Big)^2-10}\\ \\ &=2\pm\sqrt{4-10}\\ \\ &=2\pm\textcolor{red}{\sqrt{-6}}\\ \end{aligned}\)

In diesem Beispiel hat die Parabel keine Nullstelle. Die Wurzel einer negativen Zahl ist in den reellen Zahlen nicht definiert. Aus diesem Grund hat die quadratische Funktionen keine Nullstellen. Sie befindet sich oberhalb der \(x-\)Achse.

Mit dem pq-Formel Rechner von Simplexy kannst du die Nullstellen einer quadratischer Funktionen berechnen. Gib dazu am besten zur Probe mal \(x^2+2x-5=0\) ein, du erhältst die Nullstellen und den Rechenweg.
Hier kommst du zum pq-Formel Rechner.