pq-Formel


pq-Formel Rechner

Mit dem pq-Formel Rechner von Simplexy kannst du ganz simple die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen, eine Parabel zeichnen lassen, die pq-Formel online berechnen uvm.



Nullstellen einer quadratischen Funktion







Eine Parabel bzw. eine quadratische Funktion wird in der Normalform wie folgt dargestellt.

\(f(x)=x^2+px+q\)

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen zu können benötigt man die pq-Formel oder Mitternachtsformel. Manchmal wird die Mitternachtsformel auch abc-Formel genannt.

Man erhält die Nullstellen einer Parabel indem man die Funktionsgleichung gleich Null setzt.

\(x^2+px+q=0\)

Man erhält die Lösung dieser Gleichung mit der pq-Formel.

pq-Formel

\(x_{1/2}=\)\(-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)

Fallunterscheidung:

  • \(x_{1}=\)\(-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)

  • \(x_{1}=\)\(-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)

Die pq-Formel hat zwei Lösungen \(x_{1}\) und \(x_{2}\), denn eine quadratische Funktion kann bis zu zwei Nullstellen bestizen. Eine Parabel kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen. Um die Anzahl an Nullstellen zu berechnen, musst du die Diskriminante ausrechnen.

\(D=(\frac{p}{2})^2-q\)

Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel in der pq-Formel. Es gilt:


Regel:

Die Anzahl an Nullstellen erhältst du über die Diskriminante D

    \(D=(\frac{p}{2})^2-q\)

  • Wenn \(D\) kleiner als null ist, dann existieren keine Nullstellen.
  • Wenn \(D=0\) ist, dann existiert genau eine Nullstelle.
  • Wenn \(D\) größer als null ist, dann existieren zwei Nullstellen.


Im unteren Bild sind die Graphen zweier Parabeln abgebildet, die blaue Parabel besitzt keine Nullstellen während die rote Parabel zwei Nullstellen besitzt.


Regel:

Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen.
Die Nullstellen von \(f(x)=x^2+px+q\) berechnen sich mit der pq-Formel:

\(x_{1/2}=\)\(-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)



Nullstellen von Parabeln berechnen

Vorgehen

  1. Quadratische Funktion in die Normalform bringen.

  2. \(p\) und \(q\) aus der Normalform ablesen.

  3. \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen.

  4. pq-Formel ausrechnen.



Beispiel 1:

\(f(x)=x^2-6x-7\)

Die Funktion befindet sich bereits in der Normalform. Wir können also direkt zum zweiten Schritt übergehen und \(p\) und \(q\) ablesen.

\(p=-6\) und \(q=-7\)

Nun müssen wir \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q}\\ \\ &=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{-6}{2}\Big)^2-(-7)}\\ \\ &=3\pm\sqrt{9+7}\\ \\ &=3\pm\sqrt{16}\\ \end{aligned}\)

Fallunterscheidung:

  • \(x_{1}=3-\sqrt{16}=-1\)

  • \(x_{2}=3+\sqrt{16}=7\)

Die Nullstellen der Parabel befinden sich somit bei
\(x_1=-1\) und \(x_2=7\).



Beispiel 2:

\(f(x)=x^2-4x+4\)

Die Funktion befindet sich bereits in der Normalform. Wir können also direkt zum zweiten Schritt übergehen und \(p\) und \(q\) ablesen.

\(p=-4\) und \(q=4\)

Nun müssen wir \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q}\\ \\ &=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{-4}{2}\Big)^2-4}\\ \\ &=2\pm\sqrt{4-4}\\ \\ &=2\pm\textcolor{blue}{\sqrt{0}}\\ \end{aligned}\)

Diese Parabel hat nur eine einzige Nullstelle bei \(x_0=2\). Über die Diskriminante kann man berechnen wie viele Nullstellen eine Parabel besitzt. Indiesem Fall hat die Diskriminante den Wert Null:

\(D=\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q=4-4=0\)

Damit hat diese quadratische Funktion nur eine einzige Nullstelle.



Beispiel 3:

\(f(x)=x^2-4x+10\)

Die Funktion befindet sich bereits in der Normalform. Wir können also direkt zum zweiten Schritt übergehen und \(p\) und \(q\) ablesen.

\(p=-4,\) \(q=10\)

Nun müssen wir \(p\) und \(q\) in die pq-Formel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q}\\ \\ &=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{-4}{2}\Big)^2-10}\\ \\ &=2\pm\sqrt{4-10}\\ \\ &=2\pm\textcolor{red}{\sqrt{-6}}\\ \end{aligned}\)

In diesem Beispiel hat die Parabel keine Nullstelle. Die Wurzel einer negativen Zahl ist in den reellen Zahlen nicht definiert. Aus diesem Grund hat die quadratische Funktionen keine Nullstellen. Sie befindet sich oberhalb der \(x-\)Achse.

Mit dem pq-Formel Rechner von Simplexy kannst du die Nullstellen einer quadratischer Funktionen berechnen. Gib dazu am besten zur Probe mal \(x^2+2x-5=0\) ein, du erhältst die Nullstellen und den Rechenweg.
Hier kommst du zum Rechner.