Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen
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Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen
Bei langen fahrten in denen die Geschwindigkeit oft variiert kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen. Sie gibt an, wie schnell man im Mittel unterwegs war. Im unteren Video kannst du sehen wie man die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen kann.
Durchschnittsgeschwindigkeit leicht erklärt
Wenn man auf einer langen Strecke mit verschiedenen Geschwindigkeiten unterwegs ist, beispielsweise bei einer Autofahrt. So gibt die Durchschnittsgeschwindigkeit an, wie schnell man im Mittel unterwegs war. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Mittel aller Geschwindigkeiten auf einer Strecke \(\Delta s\) in einer bestimmten Zeit \(\Delta t\). Die Formel der Durchschnittsgeschwindigkeit \(\bar{v}\) lautet:
\(\begin{aligned} \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t} \end{aligned}\)
Dabei ist \(\bar{v}\) die Durchschnittsgeschwindigkeit, \(\Delta s\) die insgesamt zurück gelegt Strecke und \(\Delta t\) die insgesamt benötigte Zeit um diese Strecke zurück zu legen.
In dem Beitrag Geschwindigkeit berechnen haben wir gesehen wie man für die gleichförmige Bewegung und für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung die Geschwindigkeit berechnen kann. Diese Bewegungsformen sind sehr Speziell, im Allgemeinen bewegen sich Körper mit Geschwindigkeiten und Beschleunigungen die sich abrupt ändern. In solchen Fällen muss man wissen wie man die durchschnittliche Geschwindigkeit berechnen kann.
Durchschnittsgeschwindigkeit Formel
Die Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit haben wir bereits kurz angedeutet. Sie lautet wie folgt:
Durchschnittsgeschwindigkeit Formel
\(\begin{aligned} \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t} \end{aligned}\)
Wie bereits erwähnt ist \(\Delta s\) die insgesamt zurück gelegte Strecke und \(\Delta t\) die benötigte Zeit um diese Strecke zurück zu legen. Die ausführliche Formel der Durchschnittsgeschwindigkeit lautet jedoch folgendermaßen:
\(\begin{aligned} \bar{v}=\frac{s_1+s_2+...+s_n}{t_1+t_2+...+t_n} \end{aligned}\)
Dabei sind \(s_i\) teilstrecken, für die jeweils die Zeit \(t_i\) benötigt wurde. Die Gesamtstrecke \(\Delta s\) ist die Summe der einzelnen Teilstrecken und die Gesamtzeit ist die Summe der einzelnen Teilzeiten.
\(\begin{aligned} \Delta s&=s_1+s_2+...+s_n\\ \\ \Delta t&=t_1+t_2+...+t_n \end{aligned}\)
In einigen Augabenstellungen sind die Teilstrecken \(s_i\) nicht gegeben, dafür jedoch die verschiedenen Geschwindigkeiten \(v_i\) auf den jeweiligen Streckenabschnitten. In diesem Fall lautet die Formel der Durchschnittsgeschwindigkeit wie folgt:
Formel Durchschnittsgeschwindigkeit
\(\begin{aligned} \bar{v}=\frac{t_1\cdot v_1+t_2\cdot v_2+...+t_n\cdot v_n}{t_1+t_2+...+t_n} \end{aligned}\)
Hier wurde verwendet, dass
\(\begin{aligned} s_i=t_i\cdot v_i \end{aligned}\)
Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen mit Pause
Wird im Laufe der Bewegung eine Pause eingelegt, so muss man die Zeit in der man Pause gemacht hat berücksichtigen. Fährt man beispielsweise eine sieben stündige Autofahrt in der man eine Stunde lang Pause macht, so darf man die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht über die Formel
\(\begin{aligned} \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t} \end{aligned}\)
berechnen. Denn man ist nicht \(7\) Stunden gefahren sondern nur \(6\) Stunden. Um die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen zu Können, muss man die reine Fahrzeit betrachtet. Dies erfolgt indem man die Pausenzeit \(\Delta t_{Pause}\) von der Gesamtzeit \(\Delta t\) abzieht. Die Durchschnittsgeschwindigkeit mit Pause berechnet sich über die Formel:
Durchschnittsgeschwindigkeit mit Pause
\(\begin{aligned} \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t-\Delta t_{pause}} \end{aligned}\)
Dabei ist \(\Delta t_{pause}\) die Summe der Pausenzeiten.
Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen Beispiele
Im folgenden werden wir einige Beispiele zur Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen.
Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen Autofahrt
Ein Auto fährt eine Strecke von \(500km\) in einer Zeit von \(7\) Stunden. Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Auto unterwegs gewesen.
Um die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen zu können nutzen wir die Formel
\(\begin{aligned} \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t} \end{aligned}\)
Dabei ist \(\Delta s=500km\) und \(\Delta t=7h\). Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist damit:
\(\begin{aligned} \bar{v}&=\frac{500km}{7h}\\ \\ &\approx 71\frac{km}{h} \end{aligned}\)
Das Auto ist im mittel mit einer Geschwindigkeiten von \(71\frac{km}{h}\) unterwegs gewesen.
Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen Fahrrad
Du und deine Freude unternehmt eine Fahrradtour die insgesamt \(4\) Stunden dauert. Ihr fahrt eine Gesamtstrecke von \(45km\) und legt zwischendurch eine Pause von \(1\) Stunde ein. Wie schnell war eure Durchschnittsgeschwindigkeit.
Um eure Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen zu können muss berücksichtigt werden, dass ihr eine Pause von \(t_{pause}=1h\) gemacht habt. Die Reine Fahrzeit beträgt damit nur \(3h\). Eure Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet sich somit über die Formel:
\(\begin{aligned} \bar{v}&=\frac{\Delta s}{\Delta t-\Delta t_{pause}}\\ \\ &=\frac{45km}{4h-1h}\\ \\ &=\frac{45km}{3h}\\ \\ &=15\frac{km}{h} \end{aligned}\)
Eure Durchschnittsgeschwindigkeit während der Fahrradtour beträgt \(15\frac{km}{h}\).