Ableitung Faktorregel
Ableitungsrechner
Der Ableitungsrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich Ableiten und noch viel mehr. Um zum Beispiel die Funktion \(f(x)=x^2\) abzuleiten, geh auf den knopf \(\frac{df}{dx}\) und gib \(x^2\) ein. Dann kannst du auf Lösen drücken und du erhälts die Ableitung deiner Funktion. Teste den Rechner mit Rechenweg aus.
Faktorregel
Funktion ableiten mit der Faktorregel
In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit der Faktorregel.
Bei der Faktorregel handelt es sich im eine Ableitungsregel die man benutzt um Funktionen der Form \(f(x)=c\cdot g(x)\) abzuleiten. Dabei ist \(c\) eine Konstante.
Regel:
Faktorregel
Ableitung von \(f(x)=c\cdot g(x)\)
\(f'(x)=c\cdot g'(x)\)
Beispiel 1
Berechne die Ableitung der Funktion
\(f(x)=4\cdot x^2\)
Lösung:
Wir haben es hier mit einer Potenzfunktion zu tun, es handelt sich um eine Parabel, die mit einer konstanten Zahl (\(4\)) multipliziert wird. Bei der Ableitung müssen wir also sowohl die Faktorregel als auch die Potenzregel beachten.
Die Potenz ist hier \(\textcolor{blue}{2}\) und der Faktor ist \(\textcolor{green}{4}\)
\(f(x)=\textcolor{green}{4}\cdot x^{\textcolor{blue}{2}}\)
Um die Ableitung \(f'(x)\) zu erhalten, müssen wir die \(\textcolor{blue}{2}\) aus dem Exponenten nach vorne ziehen und dort eine \(\textcolor{red}{1}\) abziehen. Den Vorfaktor \(\textcolor{green}{4}\) müssen wir in der Ableitung einfach mit nehmen.
\(\begin{aligned} f'(x)&=\textcolor{green}{4}\cdot \textcolor{blue}{2}\cdot x^{\textcolor{blue}{2}-\textcolor{red}{1}}\\ &=8x^1\\ &=8x \end{aligned}\)
Die Ableitung lautet also:
\(f'(x)=8x\)
Beispiel 2
Berechne die Ableitung der Funktion
\(f(x)=\alpha\cdot x^2\)
Lösung:
Der Vorfaktor einer Funktion muss nicht immer eine konkrete Zahl sein. In dem Fall haben wir als Vorfaktor den Parameter \(\alpha\). Wir lassen uns davon nicht verwirren und behandeln das \(\alpha\) wie eine normale Zahl.
Die Potenz ist hier \(\textcolor{blue}{2}\) und der Faktor ist \(\textcolor{green}{\alpha}\)
\(f(x)=\textcolor{green}{\alpha}\cdot x^{\textcolor{blue}{2}}\)
Um die Ableitung \(f'(x)\) zu erhalten, müssen wir die \(\textcolor{blue}{2}\) nach vorne ziehen und im Exponenten eine \(\textcolor{red}{1}\) abziehen. Den Vorfaktor \(\textcolor{green}{\alpha}\) müssen wird in der Ableitung unverändert hinschreiben.
\(f'(x)=\textcolor{green}{\alpha}\cdot \textcolor{blue}{2}\cdot x^{\textcolor{blue}{2}-\textcolor{red}{1}}\)
Die Ableitung lautet also:
\(f'(x)=\alpha\cdot 2\cdot x\)
Beispiel 3
Wie lautet die Ableitung der folgenden Funktion
\(f(x)=3\cdot x\)
Lösung:
Wir haben es hier mit einer Linearen Funktion zu tun, die mit dem Vorfaktor \(3\) multipliziert wird.
Die Potenz ist hier \(\textcolor{blue}{1}\) und der Faktor ist \(\textcolor{green}{3}\)
\(f(x)=\textcolor{green}{3}\cdot x^{\textcolor{blue}{1}}\)
Um die Ableitung \(f'(x)\) zu erhalten, müssen wir die \(\textcolor{blue}{1}\) nach vorne ziehen und im Exponenten eine \(\textcolor{red}{1}\) abziehen. Den Vorfaktor \(\textcolor{green}{3}\) müssen wird in der Ableitung einfach mit nehmen.
\(\begin{aligned} f'(x)&=\textcolor{green}{3}\cdot \textcolor{blue}{1}\cdot x^{\textcolor{blue}{1}-\textcolor{red}{1}}\\ &=\textcolor{green}{3}\cdot \textcolor{blue}{1}\cdot\underbrace{x^0}_{1} \end{aligned}\)
Die Ableitung lautet also:
\(f'(x)=3\)
Aufgaben
Leite die folgenden Funktionen mit Hilfe der Faktorregel ab.
- \(f(x)=3\cdot x^2\)
- \(f(x)=\gamma\cdot 2\cdot x^{-1}\)
- \(f(x)=\frac{\alpha}{2}\cdot x^{-3}\)