Minus Sinus Funktion integrieren
Integralrechner
Der Integralrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich integrieren und noch viel mehr. Berechne ganz simple die Stammfunktion von -sin(x).
Minus Sinus Stammfunktion
\(\begin{aligned} f(x)&=-sin(x)\\ \\ F(x)&=cos(x) + C \end{aligned}\)
Wie integriert man die Minus Sinus Funktion?
Das Integral vom Minus Sinus ist sehr einfach, denn die Stammfunktion der Minus Sinus Funktion ergibt die Cosinus Funktion, dass kann man sich sehr leicht merken. Wenn jedoch im Argument vom Minus Sinus nicht nur ein \(x\) steht z.B \(-sin(2x+1)\), so muss man das Integral über die Substitution berechnen.
Regel:
Stammfunktion von Minus Sinus
Die Stammfunktion vom Minus Sinus ergibt die Cosinus Funktion.
Integral von \(f(x)=-sin(x)\) ergibt:
\(-\displaystyle\int sin(x)\,dx =cos(x) + C \)
\(F(x)=cos(x) + C \)
Dabei ist \(C\) eine beliebige Konstante.
Beispiel 1
Berechne das Integral der Funktion
\(f(x)=-sin(2x)\)
\(-\displaystyle\int sin(2x)\,dx\)
Lösung:
Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun
daher müssen wir die Integration mittels Substitution durchführen.
Dazu führen wir folgende Substitution durch
\(u=2x\)
\(\implies\)
\(x=\)\(\frac{u}{2}\)
Das Differential \(dx\) kann nun über \(du\) folgendermaßen ausgedrückt werden:
\(dx=\frac{1}{2}du\)
Nun können wir im Integral \(2x\) mit \(u\) und \(dx\) mit \(\frac{1}{2}du\) ersetzen
\(-\frac{1}{2}\underbrace{\displaystyle\int sin(u) du}_{-cos(u)} = \frac{1}{2}cos(u) + C \)
Zum Schluss kann man \(u\) wieder mit \(2x\) Rücksubstituieren
\(-\displaystyle\int sin(2x)\,dx=\frac{1}{2}cos(2x)+C\)
Als Lösung erhalten wir damit die Stammfunktion
\(F=\)\(\frac{1}{2}\)\(cos(2x)+C\)
Beispiel 2
Berechne die Stammfunktion von
\(f(x)=-sin(2x+1)\)
\(-\displaystyle\int sin(2x+1)\,dx\)
Lösung:
Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun
daher müssen wir wieder die Integration mittels Substitution durchführen.
Dazu führen wir folgende Substitution durch
\(u=2x+1\)
\(\implies\)
\(x=\)\(\frac{u}{2}-\frac{1}{2}\)
Das Differential \(dx\) kann nun über \(du\) folgendermaßen ausgedrückt werden:
\(dx=\frac{1}{2}du\)
Nun können wir im Integral \(2x+1\) mit \(u\) und \(dx\) mit \(\frac{1}{2}du\) ersetzen
\(-\frac{1}{2}\underbrace{\displaystyle\int sin(u) du}_{-cos(u)} = \frac{1}{2}cos(u) + C \)
Zum Schluss kann man \(u\) wieder mit \(2x+1\) Rücksubstituieren
\(-\displaystyle\int sin(2x+1)\,dx=\frac{1}{2}cos(2x+1)+C\)
Als Lösung erhalten wir damit die Stammfunktion
\(F=\)\(\frac{1}{2}\)\(cos(2x+1)+C\)
Merke
Beim Integral von der Minus Sinus Funktion hat man es oft mit einer Verkettung zu tun. Man muss also die Stammfuntkion einer verketteten Sinus Funktion ausrechnen, dass funktioniert mittels Substitution am besten. Es lohnt sich nach der Berechnung der Stammfunktion eine Probe durchzuführen. Dazu leitet man die Stammfunktion \(F(x)\) ab, um auf die Ausgangsfunktion \(f(x)\) zu kommen. Bei der Ableitung kann die Kettenregel nützlich sein.
Allgemeines zur Sinusfunktion
Die Sinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen welche oft auch als Winkelfunktionen bezeichnet werden. Die Trigonometrie ist eine Lehre, die sich mit Längen und Winkeln in Dreiecken beschäftigt. Doch nicht nur dort kommt die Sinusfunktion zum Einsatz. Sowohl der Sinus als auch der Kosinus gehören zu den elementaren Funktionen der Mathematik. Sie werden unter anderem auch in der Analysis gebraucht und sind in der Physik, insbesondere im Gebiet der Wellen und Schwingungen allgegenwärtig.