Nullstelle von quadratischen Funktionen berechnen


Nullstellen Rechner

Mit dem Parabelrechner von Simplexy kannst du ganz einfach die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen, eine Parabel zeichnen lassen, die Mitternachtsformel und die pq-Formel online berechnen uvm.



Nullstellen einer quadratischen Funktion







Parabeln kann man in vier Formen unterteilen

  1. \(f(x)=ax^2\)

  2. \(f(x)=ax^2+c\)

  3. \(f(x)=ax^2+bx\)

  4. \(f(x)=ax^2+bc+c\)



Je nach Form ergeben sich vier Fälle die man beachten muss. Um die Nullstelle einer Parabel zu berechnen muss man die Funktionsgleichung Null setzen. Denn die Nullstelle einer quadratischen Funktion ist stets beim \(y-\)Wert \(y=0\). In einigen Fällen benutzt man statt \(y\) auch die Schreibweise \(f(x)\), die zwei Schreibweisen bedeuten das gleiche.


\(y=f(x)\)


1. Fall

\(f(x)=ax^2\)

In diesem Fall besitzt die Parabel eine einzige Nullstelle.

Beispiele

  • \(f(x)=x^2\)

  • \(f(x)=2x^2\)

  • \(f(x)=-3x^2\)

  • \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\)

  • \(f(x)=-\frac{3}{4}x^2\)

In diesem Fall ist die Nullstelle stets bei \(x_0=0\). Der \(y-\)Wert ist selbstverständlich ebenfalls bei \(y=0\). Möchte man die Koordninaten der Nullstelle angeben, so schreibt man:

\(x_0=\{0,0\}\)

2. Fall

\(f(x)=ax^2+c\)

In diesem Fall erhält man die Nullstelle, indem man zunächst nach \(x^2\) auflöst und dann die Wurzel zieht.

Beispiel 1

\(f(x)=x^2-4\)

Zunächst müssen wir die Funktionsgleichung Null setzen:

\(0=x^2-4\)

Anschließend müssen wir die Gleichung nach \(x^2\) umstellen und die Wurzel ziehen:

\(\begin{aligned} 0&=x^2-4\,\,\,\,|+4\\ 4&=x^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|\sqrt{\hspace{1em}}\\ \sqrt{4}&=\sqrt{x^2}\\ \sqrt{4}&=x\\ \end{aligned}\)

Nun muss man wissen das Wurzel von Vier zwei lösungen besitzt. Es gilt:

\(\sqrt{4}=2\) und \(\sqrt{4}=-2\)

Damit hat man also

\(2=x\)

und

\(-2=x\)

Es existieren also zwei Nullstellen, die eine liegt bei \(x_1=2\) und die andere bei \(x_2=-2\).


Beispiel 2

\(f(x)=x^2+8\)

Zunächst müssen wir die Funktionsgleichung Null setzen:

\(0=x^2+8\)

Anschließend müssen wir die Gleichung nach \(x^2\) umstellen und die Wurzel ziehen:

\(\begin{aligned} 0&=x^2+8\,\,\,\,|-8\\ -8&=x^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|\sqrt{\hspace{1em}}\\ \sqrt{-8}&=\sqrt{x^2}\\ \sqrt{-8}&=x\\ \end{aligned}\)

Nun muss man die Wurzel von \(-8\) berechnen. Die Wurzel einer negativen Zahl ist (in den Reellen Zahlen \(\mathbb{R}\)) nicht definiert!

Wir müssen also hier die Rechnung abbrechen und sagen, die Funktion besitzt keine Nullstellen. Die Parabel befindet sich vollständig oberhalb der \(x-\)Achse.


3. Fall

\(f(x)=ax^2+bx\)

In solch einem Fall beginnt man damit das \(x\) auszuklammern und anschließend nutzt man den Satz vom Nullprodukt um die Nullstelle der Parabel zu berechnen.

Beispiel 1

\(f(x)=x^2+8x=x\cdot(x+8)\)

Nun kann man die Funktion Null setzen:

\(0=x\cdot(x+8)\)

An der Stelle können wir den Satz vom Nullprodukt anwenden um die Nullstellen der Parabel zu ermitteln. Dazu teilen wir die Gleichung in zwei Faktoren:

\(0=\underbrace{x}_{1. Faktor}\cdot(\underbrace{x+8}_{2. Faktor})\)

Der Satz vom Nullprodukt sagt: "Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist".

Wir Können also beide Faktorn getrennt gleich Null setzen.

1 Faktor:

\(x=0\)

\(\implies x_1=0\)

Die erste Nullstelle befindet sich somit beim \(x-\)Wert \(x_1=0\).

2 Faktor:

\(\begin{aligned} x+8&=0\\ x+8&=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|-8\\ x&=-8\\ \\ \\ \implies x_2&=-8 \end{aligned}\)

Die zweite Nullstelle befindet sich somit beim \(x-\)Wert \(x_2=-8\).


Beispiel 2

\(f(x)=2x^2-4x=x\cdot(2x-4)\)

Nun kann man die Funktion Null setzen:

\(x\cdot(2x-4)=0\)

Nun teilen wir die Gleichung wieder in zwei Faktoren:

\(\underbrace{x}_{1. Faktor}\cdot(\underbrace{2x-4}_{2. Faktor})=0\)

Wir können jetzt wieder den Satz vom Nullprodukt anwenden. Wir setzen also beide Faktorn erneut gleich Null setzen.

1 Faktor:

\(x=0\)

\(\implies x_1=0\)

Die erste Nullstelle befindet sich somit beim \(x-\)Wert \(x_1=0\).

2 Faktor:

\(\begin{aligned} 2x-4&=0\\ 2x-4&=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|+4\\ 2x&=4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|\div 2\\ x&=2\\ \\ \implies x_2&=2 \end{aligned}\)

Die zweite Nullstelle befindet sich somit beim \(x-\)Wert \(x_2=2\).

4. Fall

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

Der vierte Fall ist der schwierigste Fall. Um hier die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen benötigt man die Mitternachtsformel bzw. die pq-Formel. Manchmal wird die Mitternachtsformel auch abc-Formel genannt.

Man erhält die Nullstellen der Parabel indem man die Funktionsgleichung gleich null setzt.

\(ax^2+bx+c=0\)

Man erhält die Lösung dieser Gleichung mit der Mitternachtsformel.

Mitternachtsformel

\(x_{1/2}=\)\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Fallunterscheidung:

  • \(x_{1}=\)\(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

  • \(x_{2}=\)\(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Wie du siehst hat die Mitternachtsformel-Formel zwei Lösungen \(x_{1/2}\), denn eine quadratische Funktion kann bis zu zwei Nullstellen bestizen. Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen. Um die Anzahl an Nullstellen zu bekommen musst du die Diskriminante

\(D=b^2-4ac\)

berechnen, dass ist der Term unter der Wurzel in der Mitternachts-Formel. Es gilt:


Regel:

Die Anzahl an Nullstellen erhältst du über die Diskriminante

  • Wenn \(D\) kleiner als null ist, dann existieren keine Nullstellen.
  • Wenn \(D=0\) ist, dann existiert genau eine Nullstelle.
  • Wenn \(D\) größer als null ist, dann existieren zwei Nullstellen.


Im unteren Bild sind die Graphen zweier Parabeln abgebildet, die blaue Parabel besitzt keine Nullstellen während die rote Parabel zwei Nullstellen besitzt.


Regel:

Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen.
Die Nullstellen von \(f(x)=ax^2+bx+c\) berechnen sich mit der Mitternachtsformel:

\(x_{1/2}=\)\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)



Vorgehen um Nullstellen von Parabeln zu berechnen:

  1. Quadratische Funktion in die Normalform bringen.

  2. \(a,b\) und \(c\) aus der Normalform ablesen.

  3. \(a,b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen.

  4. Mitternachtsformel ausrechnen.


Beispiel 1:

\(f(x)=2x^2-12x-14\)

Die Funktion befindet sich bereits in der Normalform. Wir können also direkt zum zweiten Schritt übergehen und \(a,b\) und \(c\) ablesen.

\(a=2,\) \(b=-12\) und \(c=-14\)

Nun müssen wir \(a,b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \\ &=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot 2\cdot (-14)}}{2\cdot 2}\\ \\ &=\frac{12\pm\sqrt{144+112}}{4}\\ \\ &=\frac{12\pm\sqrt{256}}{4}\\ \\ &=\frac{12\pm 16}{4}\\ \end{aligned}\)

Fallunterscheidung:

  • \(x_{1}=\)\(\frac{12-16}{4}\)\(=-1\)

  • \(x_{2}=\)\(\frac{12+16}{4}\)\(=7\)

Die Nullstellen der Parabel befinden sich somit bei
\(x_1=-1\) und \(x_2=7\).


Beispiel 2:

\(f(x)=4x^2-16x+16\)

Die Funktion befindet sich bereits in der Normalform. Wir können also direkt zum zweiten Schritt übergehen und \(a,b\) und \(c\) ablesen.

\(a=4,\) \(b=-16\) und \(c=16\)

Nun müssen wir \(a,b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \\ &=\frac{-(-16)\pm\sqrt{(-16)^2-4\cdot 4\cdot 16}}{2\cdot 4}\\ \\ &=\frac{16\pm\sqrt{256-256}}{8}\\ \\ &=\frac{16\pm\textcolor{blue}{\sqrt{0}}}{8}\\ \\ &=\frac{16\pm 0}{8}\\ \\ &=\frac{16}{8}\\ \\ &=2\\ \end{aligned}\)

In diesem Beispiel hat die Parabel nur eine Nullstelle, da
die Diskriminante \(D\) gleich Null ist.

\(D=b^2-4ac=0\)

Die einzige Nullstelle befindet sich bei \(x_0=2\).


Beispiel 3:

\(f(x)=2x^2-8x+11\)

Die Funktion befindet sich bereits in der Normalform. Wir können also direkt zum zweiten Schritt übergehen und \(a,b\) und \(c\) ablesen.

\(a=2,\) \(b=-8\) und \(c=11\)

Nun müssen wir \(a,b\) und \(c\) in die Mitternachtsformel einsetzen.

\(\begin{aligned} x_{1/2}&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 2\cdot 11}}{2\cdot 2}\\ &=\frac{8\pm\sqrt{64-88}}{4}\\ &=\frac{16\pm\textcolor{red}{\sqrt{-24}}}{4}\\ \end{aligned}\)

In diesem Beispiel hat die Parabel keine Nullstelle. Die Wurzel einer negativen Zahl ist in den reellen Zahlen nicht definiert. Aus diesem Grund hat die quadratische Funktionen keine Nullstellen. Sie befindet sich oberhalb der \(x-\)Achse.

Nutze den Rechner von Simplexy um die Nullstellen einer quadratischer Funktionen zu ermitteln. Gib dazu am besten zur Probe mal \(x^2+2x-5=0\) ein, du erhältst die Nullstellen und den Rechenweg.
Hier kommst du zum Rechner.