Grundlagen des Magnetismus


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Magnetismus

Magnetismus ist eine physikalische Erscheinung, die sich haupsächlich durch eine Kraftwirkung zwischen Magneten und magnetisierten Gegenständen in unserem Altag bemerkbar macht. Doch Magnetismus spielt in unserem Leben auch ohne das wir es unmittelbar merken eine wichtige Rolle, sowohl im biologischen Sinne als auch in der Wissenschaft und Technik. Viele Errungenschaften der Moderne wären ohne dem Magnetismus nicht möglich.
Selbst in der Antike kannte man magnetische Erscheinungen die man Untersuchte und nutzbar machen wollte. Als besonders wichtiges Hilfsmittel erwies sich in Antike der Kompass.

Permanentmagnet

Der wohlbekannteste Permanentmagnet ist der Hufeisenmagnet, er hat eine anziehende Wirkung auf Eisen. Auf andere Magnete wirk er sowohl anziehend als auch abstoßend. Sind zwei gleich polige seiten einander zugerichtet, dann stoßen sie sich ab, werden jedoch zwei gegenseitige Pole einander näher gebracht, so wirkt eine anziehende Kraft zwischen ihnen. Was magnetische Pole sind wird weiter unten im Detail erklärt.



Man bezeichnet Stoffe die wie Eisen von Magneten angezogen werden als Ferromagnetisch (umgangsprachlich sagt man magnetisch), hierzu zählen Cobalt, Nickel, Neodym und einige andere. Stoffe die keine Wirkung auf die Anwesenheit eines Magnetes zeigen werden nicht-ferromagnetische Stoffe genannt.

Warum sind manche Stoffe magnetisierbar?

Die Antwort auf diese Frage liegt im Modell der Elementarmagneten.

Elementarmagnetmodell

Alle Magnete besitzt zwei gegenüberliegende Magnetpole, an deren Enden ist die magnetische Wirkung besonders stark. Zerlegt man einen Hufeisenmagneten in zwei, so werden beiden Teilstücke auch wieder zwei Magnetpole besitzen. Man kann also keinen Magneten so zerlegen, dass die Teilstücke nur einen einzigen Pol besitzen. Man kann jedoc umgekehrt jeden Magneten aus einer Vielzahl kleinerer Elementarmagnete auffassen. Im unteren Bild sieht man auf der linken Seite Elementarmagnete die alle in unterschiedliche Richtungen zeigen und damit ungeordent sind. Ihre magnetischen Wirkungen heben sich alle gegenseitig auf, sodass der Stoff im gesammten nicht magnetisch ist. Auf der rechten Seite sind die Elementarmagnete alle gleich gerichtet. Ihre magnetischen Wirkungen verstärken sich, sodass sich infolge ein starkes Magnetfeld bildet.




Elementarmagnetmodell

  • Zeigen die Elementarmagnete keine Ordnung, so heben sich ihre magnetischen Wirkungen gegenseitig auf.

  • Zeigen die Elementarmagnete eine Ordnung auf, so verstärken sie ihre magnetischen Wirkungen.

  • Ist ein Stoff magnetisierbar, so richten sich seine Elementarmagnete unter Einfluss eines Magnetfeldes aus.





Elementarmagnete eines magnetisierbaren Materials sind zunächst alle unterschiedlich gerichtet. Bring man das magnetisierbare Material in ein Magnetfeld, so richten sich die Elementarmagnete alle in die gleiche Richtung und bilden eine magnetische Ordnung. Man kann sich vorstellen, als bestehe das Material aus lauter kleiner Magnetnadeln die sich alle innerhalb eines Magnetfelds in die gleiche Richtung orientieren.


Ähnlich wie bei der elektrischen Influenz wo neutrale Körper in einem elektrischen Feld polarisiert werden, geschieht etwas ähnliches mit magnetisierbaren Materialen in einem Magnetfeld. Das Material bleibt dabei für eine relativ lange Zeit magnetisiert, Eisen kann durch die sogannte magnetische Influenz selbst zum Magneten werden.

Wie lange die magnetische Ordnung in einem Material erhalten bleibt wenn das äußere Magnetfeld entfernt wird hängt unter anderem von der Zusammensetzung des Materials ab und von dessen Temperatur.

Bei Weicheisen erhält man durch eine Magnetisierung kein Permanentmagneten. Es kommt lediglich zu einer temporären Magnetisierung. Materialien die sich nur temporär magnetisieren lassen werden Weichmagnete genannt.

Hartmagnete hingegen lassen sich in einem magnetfeld dauerhaft magnetisieren. Stahl ist ein Beispiel für einen Hartmagneten.

Die Temperatur des Materials spiel ebenso eine wichtige Rolle für die Dauer der Magnetisierung. Aus dem Beitrag zu Temperatur wissen wir, dass sich die Temperatur als Bewegung von Teilchen auffassen lässt. Dies kann man auf ein magnetisiertes Material übertragen, je höher die Temperatur ist, desto größer ist die termische Bewegung der Elementarmagnete. Ab einer bestimmten Temperatur ist die termische Bewegung so groß, dass sich die magnetische Ordnung nicht mehr aufrecht erhält. Der Stoff verliert bei zu hoher Temperatur seine Magnetisierung.

Für jedes Material lässt sich eine bestimmte Temperatur angeben ab der die Ordnung der Elementarmagnete zerstört wird, diese Temperatur wird Curie-Temperatur genannt.
Die Curie-Temperatur von Eisen beträgt \(768°C\), oberhalb dieser Temperatur wird Eisen von keinem Magneten mehr angezogen.


Magnetfeld

Wie bereits erwähnt hängt die Karft mit der ein Magnet einen anderen Magneten oder einen magnetischen Körper anzieht vom Abstand der zwei zu einander. Am Stärksten ist die Kraft zwischen Magneten an den jeweiligen Magnetpolen.

  • Magnetisierbare Körper werden von beiden Polen gleichermaßen angezogen.

  • Zwei Magnete erfahren bei einer Annäherung je nach Ausrichtung eine unterschiedliche Kraft. Gegenseitige Pole ziehen sich an und gleiche Pole stoßen sich ab.

  • Die Kraft die ein Magnet ausübt ist in der Nähe der Pole am stärkst und nimmt mit wachsendem Abstand ab.



Die Form eines Magneten spielt bei der Auswirkung der Kraft die er ausübt eine entscheidene Rolle. Am besten wird dies bei einem Stabmagneten und Eisenspänen deutlich.



Die Eisenspäne werden an unterschiedlichen Stellen um den Magneten herum unterschiedlich stark ausgerichtet und angezogen. Je nach Magneten bilden die Eisenspäne unterschiedlich Muster. Die Eisenspäne richten sich entlang der magnetischen Feldlinien aus.

Eisenspäne erfahren je nach Entfernung und Ausrichtung zum Magneten eine unterschiedlich starke Kraft, sie bilden um den Magneten geschlossene Linien. Das Muster das sich ergibt hängt von der räumlichen Verteilung der magnetischen Kraft ab, man bezeichnet dieses Muster als Magnetfeld.

In Skizzen wird ein Magnetfeld meist durch Pfeile dargestellt, die Pfeile zeigen vom Nordpol zum Südpol. Als beispiel folgt eine Skizze in denen die magnetischen Feldlinien eines Hufeisens dargestellt sind.



Man sieht, dass sich das Magnetfeld eines Hufeisenmagneten von dem Magnetfeld eines Stabmagneten unterscheiden. Werden Eisenspäne um einen Hufeisenmagneten gestreut, richten sie sich anders aus als wenn sie um einen Stabmagneten gestreut werden.



Mit Hilfe der Magnetfeldlinien lassen sich die Wechselwirkungen zwischen Magneten und magnetisierbaren Stoffen abschätzen und verdeutlichen.

Magnetische Feldstärke & magnetische Flussdichte

Die magnetische Flussdichte ist die Messgröße mit der die Kraftwirkung von Magneten definiert wird. Das ähnelt der elektrischen Feldstärke, die hatten wir wie folgt definiert:

  • Das elektrische Feld ist definiert als Kraft por Ladung:

\(E=\)\(\frac{F}{Q}\)

In einem elektrischen Feld wirken Kräfte auf Ladungen, in einem magnetischen Feld wirken die Kräfte hingegen auf

  • Magnete,

  • magnetisierbare Stoffe,

  • und bewegte Ladung.

Die Kraftwirkung eines Magnetfeldes kann mittels magnetischer Feldstärke \(\vec{H}\) beschrieben werden sie steht im direkten Zusammenhang zur magnetischen Flussdichte \(\vec{B}\).

Zusammenhang zwischen magnetischer Flussdichte & magnetischer Feldstärke

\(\vec{B}=\mu_0\cdot\mu_r\cdot \vec{H}\)

Dabei ist

  • \(\mu_0\) eine Naturkonstante mit dem Wert
    \(1,2566\cdot10^{-6}\)\(\frac{Vs}{Am}\)

  • \(\mu_r\) ist eine materialabhängige Größe (mehr dazu später)

  • Im Vacuum ist \(\mu_r=1\).

  • Die Vektorpfeile über \(H\) und \(B\) deuten daraufhin, dass die Felder immer eine Richtung haben. Rechnen wird man in der Schule aber meist mit den Beträgen.

  • \(\vec{B}\) hat die einheit \([B]=1\cdot\)\(\frac{V\cdot s}{m^2}\)

  • \(\vec{H}\) hat die einheit \([H]=1\cdot\)\(\frac{V}{m}\)



Die Größen \(\mu_0\) und \(\mu_r\) sind analog zu den Größen \(\epsilon_0\) und \(\epsilon_r\) aus der Elektrizitätslehre.


Die magnetische Feldstärke ist je nach magneten unterschiedlich und hängt stark von der Form des Magneten ab. Im 19. Jahrhundert entdeckte man das auch stromdurchflossene Leiter Magnetfelder erzeugen, je nach Leiteranordung entstehen dabei unterschiedlich magnetische Feldstärken.

Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters

Wenn man eine Kompassnadel in die Nähe eines stromdurchflossenen Leiter bringt, dann wird man bei genügend hohem Strom eine Ablenkung der Nadel bemerken. Dies liegt daran, dass ein stromdurchflossener Leiter ein Magnetfeld erzeugt, offenbar besteht ein Zusammenhang zwischen Elektrizität und Magnetismus.

Doch wie ist das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters gerichtet?

In dem man einen Leiter in verschiedene Positionen ausrichtet und dabei die Ausrichtung einer Magnetnadel beobachtet kann man folgende Gesetzmäßigkeit beobachten:



Rechte-Hand-Regel

Um die Ausrichtung eines Magnetfeldes zu bestimmen, dass von einem stromdurchflossenen Leiter erzeugt wird, umfasst man den Leiter mit der rechten Hand. Dies macht man so, dass der ausgestreckte Daumen entlangt der technischen Stromrichtung (von \(+\) nach \(-\)) zeigt. Die übrigen vier Finger geben die Ausrichtung der magnetischen Feldlinien an.



Die magnetische Feldstärke im Abstand \(r\) eines stromdurchflossenen Leiters der Stromstärke \(I\) berechnet sich über

Magnetische Feldstärke eines Leiters

\(H_{Leiter}=\)\(\frac{I}{2\cdot \pi\cdot r}\)



Wie bereits erwähnt ist die Richtung des Magnetfeldes stark von der Leiteranordnung abhängig. Bei einer Spule ist das Magnetfeld anders aufgebaut als bei einem geraden Stromleiter. Das Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule ähnelt dem eines Stabmagneten sehr, auch hier kann man die Rechte-Hand-Regel anwenden. Dadurch kann man rausfinden wo sich der Nordpol bzw. Südpol des Magnetfeldes befindet.

Rechte-Hand-Regel für Spulen

Um die Pole des Magnetfeldes einer Spule zu ermitteln, umfasst man sie so, dass der Daumen entlangt der technischen Stromrichtung (von \(+\) nach \(-\)) zeigt. Der Norpol der Spule liegt dann in Richtung des ausgestreckten Daumens.





Das Magnetfeld innerhalb der Spule ist homogen, die magnetischen Feldlinien haben im Inneren der Spule alle den gleichen Abstand zu einander und zeigen in die gleiche Richtung.


Die magnetische Feldstärke im Inneren einer Spule mit der Windungszahl N, der Länge \(l\) und der Stromstärke \(I\) berechnet sich über

Magnetische Feldstärke Innerhalb einer Spule

\(H_{Spule}=\)\(\frac{N\cdot I}{l}\)



Man kann die Särke des Magnetfeldes einer Spule erhöhen, indem man einen Eisenstab innerhalb der Spulenwindungen platziert. Durch die magnetische Influenz wird so der Eisenstab (Eisenkern) selbst magnetisiert und verstärkt dadurch das Magnetfeld der Spule.

Elektromagneten basieren auf der Fähigkeit magnetische Felder mittels Strom zu erzeugen. Eine Spule ist im prinzip nichts weiter als ein Elektromagnet, durch an- und Ausschalten des Stroms kann man das Magnetfeld steuern.

Elektromagneten

Elekromagneten haben wesentliche Vorteile:

  • Man kann Elektromagnete ein- und ausschalten.

  • In dem man die Stromstärke reguliert kann man die Stärke des Magnetfeldes variieren.

  • Die Pole eines Elektromagneten kann man vertauschen indem man die Polung der Spannung vertauscht.

  • Elektromagnete verlieren im laufe der Zeit ihre Magnetfeldstärke nicht.



Magnetische Permeabilitätszahl

Die magnetische Permeabilität \(\mu_r\) gibt an wie "durchlässig" ein Stoff für das magnetische Feld ist. Wie bereits oben bei einer stromdurchflossenen Spule erwähnt, kann ein Eisenkern innerhalb der Spule dazu führen, dass sich die magnetische Flussdichte innerhalb der Spule erhöht.

Die magnetische Flussdichte ist ist proprotional zur magnetische Feldstärke, dabei ist die Proportionalitätskonstante das Produkt aus magnetischer Feldkonstante \(\mu_0\) und der relativen Permeabilität \(\mu_r\)

\(B=\mu_0\cdot \mu_r\cdot H\)


Die relative Permeabilität \(\mu_r\) ist eine stoffspezifische Größe.

Eisen ist also in der Lage die magnetische Flussdichte zu erhöhen, es gibt aber auch Materialien welche die Flussdichte verringern. Im wenentlichen gibt es drei Arten von Materialen:

  • In sogenannten diamagnetischen Materialien ist \(\mu_r\lt 1\), die magnetische Flussdichte wird gegenüber einem äußeren magnetischen Feld verringert. Diamagnetische Stoffe sind unter anderem Wasser, Kupfer und Zink.

  • In sogenannten paramagnetischen Materialien ist \(\mu\gt\)1, die magnetische Flussdichte wird gegenüber einem äußeren Feld leicht erhöht. Paramagnetische Stoffe sind unter anderem Sauerstoff und Aluminium.

  • In sogenannten ferromagnetischen Materialien ist \(\mu\gg 1\), innerhalb eines ferromagnetischen Stoffs wird die magnetische Flussdichte gegenüber einem äußeren Feld sehr verstärkt. Ferromagnetische Stoffe sind unter anderem Eisen, Nickel und Cobalt.



Supraleiter bilden ein Spezielfall im Magnetismus und in der Elektrizitätslehre. Sie haben eine relative Permeabilität von \(\mu_r=0\), wodurch die magnetische Flussdichte in ihrem Inneren vollkommen verschwindet. Supraleiter lassen einen magnetischen Fluss nicht durch, die Feldlinien verlaufen um den Supraleiter herum.


Die Lorentz-Kraft

Wie wir nun wissen, erzeugt jeder elektrische Strom ein Magnetfeld, wir wissen ebenfalls, dass Strom definiert ist, als die gerichtete Bewegung von Ladung. Ladungen können Magnetfelder erzeugung und sie können wiederum mit Magnetfeldern wechselwirken.
Hendrik Antoon Lorentz stellte fest, dass stromdurchflossene Leiter in einem Magnetfeld eine ablenkende Kraft verspüren. Man bezeichnet diese Kraft als Lorentz-Kraft. Ihr Betrag ist abhängig von der Stromstärke, der magnetischen Flussdichte und dem Winkel zwischen Magnetfeldrichtung und Leiter.





Eigenschaften der Lorentz-Kraft

  • Der Betrag der Lorentz-Kraft hängt von der Stärke des Magnetfeldes und der Stromstärke ab.

  • Der Betrag der Lorentz-Kraft hängt vom Winkel zwischen dem Magnetfeld und der Stromrichtung ab.

  • Der Betrag der Lorentz-Kraft ist Maximal wenn Stromrichtung und Magnetfeld senkrecht zu einander ausgerichtet sind.

  • Die Lorentz-Kraft wirkt stets senkrecht zur Stromrichtung und senkrecht zur Magnetfeldrichtung.

  • Der Betrag der Lorentz-Kraft ist Null wenn die Magnetfeldrichtung und die Stromrichtung parallel sind.



Die oben genannten Eigenschaften der Lorentz-Kraft lassen sich mit der Drei-Finger-Regel visualisieren.



Drei-Finger-Regel

Um die Richtung der Lorentz-Kraft zu bestimmen, nutzt man die Drei-Finger-Regel. Dabei richtet man die Hand so aus, dass der Daumen in die Bewegungsrichtung der Ladungsträger zeigt und der Zeigefinger in Richtung des Magnetfeldes. Der Mittelfinger zeigt dann in Richtung der wirkenden Lorentz-Kraft.





  • Betrachtet man negative Ladungsträger zum Beispiel Elekronen, so benutzt man zur bestimmung der Lorentz-Kraft die linke Hand.

  • Sind die betrachteten Ladungsträger positiv, so benutzt man zur bestimmung der Lorentz-Kraft die rechte Hand.


Im unteren Bild sieht man die Richtung der Lorentzkraft auf die Elektronen eines stromdurchflossenen Leiters. Das Magnetfeld zeigt in die Bildschirmebene rein, dies wird durch das Symbole ⦻ gekennzeichnet.



In dem nachfolgenden Bild sieht man die Richtung der Lorentzkraft auf den gleichen Leiter, wenn das Magnetfeld aus der Bildschirmebene zeigt (wird duch das Symbol ⊙ gekennzeichnet).



Lorentzkraft Berechnen

Mit der Drei-Finger-Regel bist du nun in der Lage die Richtung der Lorentzkraft zu ermitteln, die Ladungsträger müssen dabei nicht zwangsläufig in einem Leiterfließen.

Betrachtet man freie Ladungsträger deren Bewegungsrichtung senkrecht zum Magnetfeld steht, dann berechnet sich der Betrag der Lorentzkraft wie folgt:



Lorentzkraft für freie Ladungsträger (\(\vec{v}\perp\vec{B}\))

\(F=q\cdot v\cdot B\)

Dabei ist:

  • \(q\) die Ladung in Coulomb \([C]\)

  • \(v\) die Geschwindigkeit in \([\frac{m}{s}]\)

  • \(B\) die magnetische Flussdichte in Tesla \([T]\)



Liegen Bewegungsrichtung der Ladungsträger und die Magnetfeldrichtung nicht senkrecht zu einander, so muss man den Winkel \(\alpha\) zwischen ihnen berücksichtigen:

\(F=q\cdot v\cdot B\cdot sin(\alpha)\)


Möchte man den Betrag der Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter berechnen, so wendet man die folgende Formel an. Auch hier gilt die Formel nur wenn die Stromrichtung und das Magnetfeld senkrecht zu einander liegen:



Lorentzkraft auf einen Stromdurchflossenen Leiter
(\(\vec{I}\perp\vec{B}\))

\(F=B\cdot I\cdot l\)

Dabei ist:

  • \(B\) die magnetische Flussdichte in Tesla \([T]\)

  • \(I\) die Stromstärke in Ampere \([A]\)

  • \(l\) die Länge des Leiterstücks welches im Magnetfeld liegt in Meter \([m]\)



Sind der Stromleiter und die Magnetfeldrichtung nicht senkrecht zu einander, so muss man den Winkel \(\alpha\) zwischen ihnen berücksichtigen:

\(F=B\cdot I\cdot l\cdot sin(\alpha)\)


Halleffekt

Ladungstärger die sich durch ein Magnetfeld bewegen stehen wie wir jetzt wissen unter dem Einfluss der LorentzKraft, der Betrag der Lorentzkraft ist sowohl von der Geschwindigkeit der Ladungstärger als auch von der Stärke des Magnetfeldes abhängig. Werden Ladungsträger durch die Lorentzkraft getrennt, so kann man eine elektrische Spannung erzeugen, findet eine Ladungstrennung aufgrund der Lorentzkraft statt, so wird diese Spannung Hall-Spannung genannt. Der Name kommt von ihrem Entdecker Erwin-Hall

Erwin Hall war ein US-amerikanischer Physiker der entdeckte, dass ein stromdurchflossener Leiter, der sich in einem Magnetfeld befindet, eine elektrische Spannung aufbaut. Diese sogenannte Hall-Spannung entsteht senkrecht zur Stromrichtung und zur Magnetfeldrichtung.



In der oberen Abbildung sieht man einen stromdurchflossenen Leiter, die Negativen Ladungsträger fließen von Links nach Rechts. Der Leiter befindet sich in einem Magnetfeld dessen Magnetfeldlinien in die Bildschirmebende zeigen. Da es sich hierbei um bewegte Ladungsträger in einem Magnetfeld handelt, wirkt auf ihnen zunächst die Lorentzkraft. Diese Lenkt die Elektronen nach der Drei-Finger-Regel nach unten ab, dadurch finden sich auf der unteren Seite des Leiters mehr Elektronen als auf der oberen Seite. Man kann die untere Seite als negativ geladen betrachten. Auf der oberen seite des Leiters sind im vergleich zur unteren Seite weniger Elektronen, im Bezug auf die untere Seite ist die obere Seite als positiv geladen zu betrachten. Zwischen der oberen und der unteren Seite herrscht ein Ladungsunterschied, es bildet sich eine elektrische Spannung.

Je mehr Elekronen auf die untere Seite abgelenkt werden, desto höher wird die Hall-Spannung. Je mehr Elektronen auf der unteren Seite sind desto schwerer wird es für weitere Elektronen dort hinzugelangen. Früher oder Später bildet sich ein Gleichgewicht zwischen der Lorentzkraft \(F_L\) welche die Elektronen nach unten ablenkt und der elektrischen Kraft \(F_E\) welche die Elektronen nach ober ablenkt.

Berechnung der Hall-Spannung

Die Hall-Spannung wird gemessen nach dem sich ein Gleichgewicht zwichen der Lorentzkraft und der elektrischen Kraft bildet:

\(F_{E}=F_{L}\)

\(e\cdot E=e\cdot v\cdot B\,\,\,\,\,\,|\div e\)

\(E=v\cdot B\)

\(\frac{U_{hall}}{h}\)\(=v\cdot B\)

\(U_{hall}=v\cdot B\cdot h\)

Nun müssen wir einen Weg finden mit dem wie die Geschwindigkeit \(v\) der Elektronen bestimmen dazu betrachten wir die Gesamtladung im Leiter.

Die Gesamtladung \(Q\) im Leiter ergibt sich aus:

\(Q=N\cdot e\)

Wobei \(N\) die Gesamtzahl der Elektronen im Leiter ist und \(e\) die Ladung eines Elektrons ist (Elementarladung).

Dies kann man nun in die Formel \(I=\frac{Q}{t}\) der Stromstärke einsetzen dabei muss man beachten, dass die Zeit \(t\) gerade die Zeit ist, die ein Elektron benötigt um den Leiter der Länge \(l\) zu durchfließen, also gilt:

\(t=\)\(\frac{l}{v}\)

\(I=\)\(\frac{Q}{t}=\frac{N\cdot e\cdot v}{l}\)

Diese Gleichung können wir nun nach \(v\) umstellen und dann in die Gleichung für \(U_{hall}\) einsetzen:

\(v=\)\(\frac{I\cdot l}{N\cdot e}\)

Einsetzen von \(v\) in \(U_{hall}\) liefer:

\(U_{hall}=\)\(\frac{I\cdot l}{N\cdot e}\)\(\cdot B\cdot h\)

Im Prinzip hat man nun bereits die Formel für die Hall-Spannung, in den Leerbüchern findet man aber oft eine Formel in der das Volumen des Leiters steht. Die erhält man indem man unsere Gleichung für \(U_{hall}\) auf beiden Seiten mit der Dicke \(d\) des Leiters multipliziert:

\(U_{hall}\cdot d=\)\(\frac{I\cdot l}{N\cdot e}\)\(\cdot B\cdot h\cdot d\)

Nun kann man \(l\cdot h\cdot d\) auf der rechten Seite mit dem Volumen \(V\) des Leiters ersetzen:

\(U_{hall}\cdot d=\)\(\frac{I\cdot V}{N\cdot e}\)\(\cdot B\)

Damit Folgt:

\(U_{hall}=\)\(\frac{I\cdot V}{N\cdot e\cdot d}\)\(\cdot B\)

Oftmals ist es einfacher die Ladungsdichte \(n\) in einem Leiter anzugeben als die Gesamtzahl an Ladungsträgern \(N\). Für die Ladungsträgerdichte gilt:

\(n=\)\(\frac{N}{V}\)

Dies können wir nun in die Formel für \(H_{hall}\) ersetzen:

\(U_{hall}=\)\(\frac{1}{n\cdot e}\frac{IB}{d}\)

Formel der Hall-Spannung

\(U_{hall}=\)\(\frac{1}{n\cdot e}\frac{IB}{d}\)

Dabei ist:

  • \(I\) die Stromstärke

  • \(B\) die magnetische Flussdichte

  • \(d\) die Dicke des Leiters

  • \(n\) die Ladungsträgerdichte (eine Materialkonstante)

  • \(e\) die Ladung der Ladungsträger im Leiter



Den Faktor \(\frac{1}{n\cdot e}\) nennt man Hall-Konstante \(A_H\), man kann die Formel für die Hall-Spannung kompakter darstellen:

\(U_{hall}=A_H\)\(\frac{IB}{d}\)


Hall-Sonde & Hall-Sensor

Mittels Hall-Spannung kann man die magnetische Flussdichte von Magnetfelder messen, man benötigt hierfür eine sogenannte Hall-Sonde oder auch Hall-Sensor genannt.



Ein Hall-Sensor besteht aus sehr dünnen dotierten Halbleiter-Schichten, diese haben seitlich vier Elektroden, der Aufbau ist äquivalent zu der oben dargestellten Skizze. Über zwei Elektroden wird ein Strom eingespeist, die zwei senkrecht dazu liegenden Elektroden dienen zur Abnahme der Hall-Spannung. Wird ein Hall-Sensor in ein Magnetfeld positioniert, so ist die gemessene Hall-Spannung proportional zum Betrag des Vektorprodukts aus magntischer Flussdichte und Strom.