Kreisfrequenz
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Kreisfrequenz
Was ist die Kreisfrequenz und wie kann man die Kreisfrequenz einer Schwingung berechnen? In diesem Beitrag werden diese zwei Fragen behandelt. Insbesonde wird es dabei um die Kreisfrequenz in Bezug auf harmonische Schwingungen gehen.
Kreisfrequenz Definition
Die Kreisfrequenz ist eine Maß dafür, wie schnell eine Schwingung abläuft. Sie wird oft auch als Winkelfrequenz bezeichnet und hat das Formelzeichen \(\omega\). Aus dem Beitrag zur Frequenz vom Fadenpendel und Frequenz vom Federpendel wissen wir bereits, dass die Frequenz angibt, wie viele Schwingungen innerhalb einer Sekunde stattfinden. Die Kreisfrequenz ist hingegen ein Maß dafür wie schnell eine periodische Bewegung den Phasenwinkel \(2\pi\) ( \(360°\)) überstreicht. Dazu muss man wissen, dass jede periodische Bewegung (beispielsweise eine Schwingung) auf den Einheitskreis (Kreis mit Radius \(r=1\)) projiziert werden kann. Die Schwingung kann anschließend über einen Zeiger beschrieben werden, der den Einheitskreis umrundet. Die Kreisfrequenz ist ein Maß dafür wie schnell der Zeiger um den Einheitskreis rotiert.
Die Kreisfrequenz hat das Formelzeichen \(\omega\) und die Einheit \([\frac{1}{s}]\). Im gegensatz zur Frequenz wird für die Kreisfrequenz die Bezeichnung Hertz nicht verwendet.
Für eine bessere bildliche Darstellung der Kreisfrequenz kannst du dir das folgende Video ansehen.
Kreisfrequenz Formel
Da wir nun wissen, dass die Kreisfrequenz angibt wie schnell sich der Zeiger um den Einheitskreis bewegt können wir die Formel für die Kreisfrequenz leicht ermitteln.
Eine Schwingungsperiode entspricht einer vollen Umrundung um den Einheitskreis. Demzufolge muss der Zeiger \(360°\) umrunden innerhalb einer periodendauer \(T\). Ein Winkel von \(360°\) entspricht in Bogenmaß \(2\pi\). Der Zeiger muss also den Phasenwinkel \(2\pi\) innerhalb einer Schwingungsdauer von \(T\) überbrücken. Daher folgt für die Kreisfrequenz \(\omega\):
\(\begin{aligned} \omega=\frac{2\pi}{T} \end{aligned}\)
Über den Zusammenhang zwischen der Periodendauer \(T\) und der Frequenz \(f\)
\(\begin{aligned} T=\frac{1}{f} \end{aligned}\)
erhält man auch den Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz und der Frequenz:
\(\begin{aligned} \omega=2\pi\cdot f \end{aligned}\)
Kreisfrequenz Formel
Die Kreisfrequenz ist ein Maß dafür wie schnell eine Schwingung abläuft. Das Formelzeichen der Kreisfrequenz ist \(\omega\) und die Einheit ist \([\frac{1}{s}]\).
\(\begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi}{T}\\ \\ \omega&=2\pi\cdot f \end{aligned}\)
Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz
Die Winkelgeschwindigkeit dient der Beschreibung von Rotationsbewegungen. Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn um eine Achse, so gibt die Winkelgeschwindigkeit an, wie schnell sich der Winkel mit der Zeit um diese Achse dreht. Je schneller sich der Körper bewegt, desto größer ist die Winkelgeschwindigkeit. Die Winkelgeschwindigkeit hat ebenfalls das Formelzeichen \(\omega\) und die Einheit \([\frac{rad}{s}]\).
Winkelgeschwindigkeit Formel
\(\begin{aligned} \omega=\dot{\varphi}=\frac{d\varphi}{dt} \end{aligned}\)
Bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit gilt:
\(\begin{aligned} \omega=\frac{2\pi}{T} \end{aligned}\)
denn innerhalb der Umlaufzeit \(T\) werden \(360°\) (\(2\pi\)) umrundet.
Die Winkelgeschwindigkeit und die Kreisfrequenz sind zwei unterschiedliche physikalische Größen. Die Winkelgeschwindigkeit gibt die Änderungsrate eines Winkels innerhalb einer Drehbewegung wieder. Die Kreisfrequenz ist hingegen die Abstraktion einer Schwingung. Wobei die Schwingung auf einen Kreis projiziert wird.
Obwohl die Winkelgeschwindigkeit und die Kreisfrequenz zwei verschiedene physikalische Größen sind, entspricht die Kreisfrequenz gerade der Winkelgeschwindigkeit, wenn man eine Schwingung als Rotationsbewegung um den Einheitskreis betrachtet.
Zeigermodell
Das Zeigermodell wird angewandt, wenn harmonische Schwingungen durch einen rotierenden Zeiger um den Einheitskreis beschrieben werden. Dabei wird die Auslenkung als Projektion auf einen Zeiger dargestellt. Der Zeiger rotiert um den Einheitskreis entsprechend der Auslenkung. Wie genau so eine Projektion durchgeführt wird kannst du dir im folgenden Video ansehen.