Federpendel Beschleunigung
Online Rechner mit Rechenweg
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Das Wichtige zusammengefasst
Die Schwingungsgleichung eines Federpendels kann man aus dem Hookeschen Gesetzt ableiten.
Die Schwingungsgleichung lautet:
\(m\cdot \frac{d^2s}{dt^2}+D\cdot s=0\)
Dabei ist:
\(m\) die Masse,
\(s\) die Auslenkung,
und \(D\) die Federkonstante des Pendels.
Das Federpendel schwingt harmonisch mit der Zeit-Ort-Funktion
\(s(t)=A\cdot cos(\omega t)\)
Dabei ist \(\omega\) die Eigenfrequenz bzw. Kreisfrequenz des Pendels.
\(A\) ist die Startauslenkung (Amplitude) des Pendels.
\(\omega=\sqrt{\frac{D}{m}}\)
Die Beschleunigung eines Federpendels berechnet sich über die zweite Ableitung von \(s(t)\) nach der Zeit der Feder und lautet:
\(a=\ddot{s}(t)\)
Das Federpendel
Ein Federpendel besteht aus einer Schraubenfeder an dessen Ende eine Masse befestigt ist, welches sich gradlinig entlang der Auslenkungsrichtung bewegen kann. Während der Bewegung des Pendels verkürzt und verlängert sich die Feder periodisch, die Masse vollführt dabei eine harmonische Bewegung. Man nennt ein Federpendel unter anderem auch harmonischer Ozillator.
Betrachtet wird ein Federpendel, dass um die Streck \(s\) aus der Ruhelage ausgelengt ist.
Beschleunigung des Pendels
Die Beschleunigung vom Federpendel ist im unteren Video leicht erklärt.
In dem Beitrag über die Bewegungsgleichung des Federpendels haben wir die Ort-Zeit-Funktion des Pendels berechnet. Dort haben wir rausgefunden, dass sich das Pendel harmonisch mit der Ort-Zeit-Funktion
\(s(t)=A\cdot cos(\omega t)\)
bewegt. Dabei ist \(\omega\) die Eigenfrequenz bzw. Kreisfrequenz des Pendels.
\(\omega=\sqrt{\frac{D}{m}}\)
\(A\) ist die Startauslenkung (Amplitude) des Pendels.
Sobald das Pendel losgelassen wird, beschleunigt es sich in Richtung der Ruhelage. Aufgrund der Trägheit fliegt das Massestück durch die Ruhelage hindurch und gelangt zum anderen Umkehrpunkt. Dort kommt das Pendel für einen kurzen Moment zum Stillstand, und wird anschließend wieder in Richtung des anderen Umkehrpunktes bewegt.
Beim Durchgang durch die Ruhelage ist die Geschwindigkeit des Pendels maximal und an den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit Null \((v=0)\).
Um den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit und der Beschleunigung zu erhalten, können wir die Ort-Zeit-Funktion \(s(t)\) nach der Zeit ableiten.
Geschwindigkeit
\(v=\)\(\frac{\Delta s}{\Delta t}\)
bzw.
\(v=\dot{s}=\)\(\frac{ds}{dt}\)
Beschleunigung
\(a=\)\(\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
bzw.
\(a=\dot{v}=\ddot{s}=\)\(\frac{d^2s}{dt^2}\)
Um den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit zu ermitteln müssen wir also die Ort-Zeit-Funktion des Pendels einmal nach der Zeit ableiten.
\(\dot{s}(t)=-A\cdot \omega\cdot sin(\omega t)\)
Geschwindigkeit eines Pendels
\(v(t)=-A\cdot \omega\cdot sin(\omega t)\)
Hinweis:
Für die Ableitung muss man die Kettenregel anwenden.
Dafür muss man die äußeren Ableitung mit der inneren ableitung von \(cos(\omega\cdot t)\) multiplizieren.
Die äußeren Ableitung von \(cos(\omega t)\) lautet:
\(-sin(\omega\cdot t)\)
und die innere Ableitung lautet:
\(\frac{d(\omega\cdot t)}{dt}\)\(=\omega\)
Die innere Ableitung mal die äußere Ableitung liefert also:
\(v(t)=-A\cdot \omega\cdot sin(\omega t)\)
Um nun die Beschleunigung des Pendels zu berechnen, müssen wie die Ort-Zeit-Funktion \(s(t)\) zwei mal nach der Zeit ableiten. Da wir bereits die erste Ableitung (Geschwindigkeit) berechnet haben, können wir nun die Geschwindigkeit nach der Zeit ableiten und wir erhalten die Beschleunigung \(a(t)\).
Beschleunigung des Pendels
\(a(t)=\dot{v}(t)\)
\(a(t)=-A\cdot \omega^2\cdot cos(\omega\cdot t)\)
Wir haben auch hier die Kettenregel verwendet um die Ableitung zu berechnen.
Die äußeren Ableitung von \(-sin(\omega t)\) lautet:
\(-cos(\omega\cdot t)\)
und die innere Ableitung lautet:
\(\frac{d(\omega\cdot t)}{dt}\)\(=\omega\)
Die innere Ableitung mal die äußere Ableitung liefert also:
\(a(t)=-A\cdot \omega^2\cdot cos(\omega t)\)
Für den Fall \(A=1\) und \(\omega=1\) hat man den folgenden Verlauf für die Ort-Zeit-Funktion \(s(t)\), der Geschwindigkeit \(v(t)\) und der Beschleunigung \(a(t)\) des Pendels:
Wie man in der oberen Abbildung sieht, ist die Geschwindigkeit zum start Zeitpunkt Null und die Auslenkung des Pendels ist maximal. Während sich das Pendel in Richtung der Ruhelage bewegt, steigt die Geschwindigkeit des Pendel, beim Durchgang durch die Ruhelage (Nullpunkt des Graphen) ist die Geschwindigkeit des Pendels maximal und die Auslenkung des Pendels Null.
Die Beschleunigung des Pendels ist an den Umkehrpunkten maximal da sich die Bewegungsrichtung des Pendels umkehren muss. Das Pendel wird abgebremmst und in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt. Beim Durchgang durch die Ruhelage ist die Beschleunigung Null, da sich die Geschwindigkeit dort maximal ist und sich für einen kurzen moment nicht ändert.
Merke
Wir haben als Ort-Zeit-Funktion \(s(t)=A\cdot cos(\omega\cdot t)\) verwenden, dass geht einher mit einem Pendel das zum Anfangszeitpunkt maximal ausgelenkt ist. Betrachtet man ein Pendel das von der Ruhelage angestoßen wird, so lautet die Ort-Zeit-Funktion:
\(s(t)=A\cdot sin(\omega\cdot t)\)
und damit wäre die Geschwindigkeit für diesen Fall:
\(v(t)=A\cdot \omega\cdot cos(\omega t)\)
Und die Beschleunigung wäre:
\(a(t)=-A\cdot \omega^2\cdot sin(\omega t)\)
Je nach Anfangbedingung erhält man also eine unterschiedliche Ort-Zeit-Funktion. In beiden Fällen finden jedoch eine harmonische Schwingung um die Ruhelage statt, qualitativ ändert sich an der Bewegung des Pendels also nichts.