e Funktion integrieren
Integralrechner
Der Integralrechner von Simplexy kann beliebige Funktionen für dich integrieren und noch viel mehr. Berechne ganz simple die Stammfunktion und die Flächen unter einem Graphen.
Stammfunktion der e-Funktion
Die Exponentialfunktion taucht in vielen Zusammenhängen auf, am meisten begegnet man der e-Funktion in der schule im Zusammenhang mit Wachstumsprozessen und Zerfallsprozessen. Die Stammfunktion der e-Funktion ist daher von zentraler Bedeutung.
Voraussetung für das Integrieren der e-Funktion ist die Integralrechnung. In der folgenden Tabelle sind einige Varianten der Exponential-Funktion und ihre Stammfunktion dargestellt, weiter Unten werden einige wichtige Beispiele aus der Tabelle genauer erklärt.
| f(x) | F(x) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(e^{-x}\) | \(-e^{-x}\) |
| \(e^{2x}\) | \(\frac{1}{2}\)\(e^{2x}\) |
| \(e^{-3x}\) | \(-\frac{1}{3}\)\(e^{-3x}\) |
| \(2e^{5x}\) | \(\frac{2}{5}\)\(e^{5x}\) |
| \(e^{2x-4}\) | \(\frac{1}{2}\)\(e^{2x-4}\) |
| \(e^{2x+1}\) | \(\frac{1}{2}\)\(e^{2x+1}\) |
| \(e^{6-2x}\) | \(-\frac{1}{2}\)\(e^{6-2x}\) |
| \(x\cdot e^{-3x}\) | Partielle Integration |
| \(2x\cdot e^{x^2}\) | Substitution |
\(e{^x}\) Integrieren
Wir wissen aus der Differentialrechnung das die Ableitung der e-Funktion gerade die e-Funktion ergibt.
\((e^{x})'=e^{x}\)
Da die Integration gerade das Umkehren der Ableitung ist, muss die Stammfunktion der e-Funktion wieder die e-Funktion sein.
Regel:
\(\underbrace{F(x)=e^{x}}_{\text{Stammfunktion}}\overbrace{\leftarrow}^{\text{integrieren}} f(x)=e^{x}\overbrace{\rightarrow}^{\text{ableiten}} \underbrace{f'(x)=e^{x}}_{\text{1.Ableitung}}\)
\(e^{-x}\) Integrieren
Beim integrieren von \(e^{-x}\) muss beachtet werden, dass sich im Exponenten zusätzlich zum \(x\) noch ein Minus vorhanden ist.
Beim integrieren kann man sich immer die Frage stellen, welche funktion muss ich ableiten um die Ausgangsfunktion zu erhalten ?
Leiten wir mal zur Probe die Funktion \(f(x)=e^{-x}\) ab:
\(f'(x)=-e^{-x}\)
Nun Fragen wir uns, welche Funktion müssen wir ableiten um \(e^{-x}\) zu erhalten?
\(F(x)=-e^{-x}\)
Denn wenn wir \(F(x)=-e^{-x}\) ableiten erhalten wir:
\(F'(x)=-(-e^{-x})=e^{-x}\)
Die Stammfunktion von \(e^{-x}\) ist somit \(-e^{-x}\).
Regel:
\(\underbrace{F(x)=-e^{-x}}_{\text{Stammfunktion}}\overbrace{\leftarrow}^{\text{integrieren}} f(x)=e^{-x}\overbrace{\rightarrow}^{\text{ableiten}} \underbrace{f'(x)=-e^{-x}}_{\text{1.Ableitung}}\)
\(e^{2x}\) Integrieren
Beim integrieren von \(e^{2x}\) müssen wir beachten das im Exponenten eine konstante vor dem \(x\) steht.
Die Ableitung von \(f(x)=e^{2x}\) lautet:
\(f'(x)=2\cdot e^{2x}\)
Demzufolge muss man also eine Stammfunktion suchen, deren Ableitung dafür sorgt, dass sich die \(2\) wegkürzt.
\(F(x)=\)\(\frac{1}{2}\)\(e^{2x}\) würde diese Bedingung erfüllen. Zur Probe leiten wir diese Stammfunktion mal ab und erhalten:
\(F'(x)=\)\(\frac{2}{2}\)\(e^{2x}=e^{2x}\)
Regel:
\(\underbrace{F(x)=\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x}}_{\text{Stammfunktion}}\overbrace{\leftarrow}^{\text{integrieren}} f(x)=e^{\alpha x}\overbrace{\rightarrow}^{\text{ableiten}} \underbrace{f'(x)=\alpha\cdot e^{\alpha x}}_{\text{1.Ableitung}}\)
Wobei \(\alpha\) eine Konstante ist.
\(e^{2x-4}\) Integrieren
Die Integration von \(e^{2x-4}\) ist ähnlich wie bei \(e^{2x}\) .
Die Ableitung von \(f(x)=e^{2x-4}\) lautet:
\(f'(x)=2\cdot e^{2x-4}\)
Dem zufolge muss man auch hier eine Stammfunktion suchen, deren Ableitung dafür sorgt, dass sich die \(2\) wegkürzt.
\(F(x)=\)\(\frac{1}{2}\)\(e^{2x-4}\) würde diese Bedingung erfüllen. Zur Probe leiten wir diese Stammfunktion mal ab und erhalten:
\(F'(x)=\)\(\frac{2}{2}\)\(e^{2x-4}=e^{2x-4}\)
Regel:
\(\underbrace{F(x)=\frac{1}{\alpha}e^{\alpha x-\beta}}_{\text{Stammfunktion}}\overbrace{\leftarrow}^{\text{integrieren}} f(x)=e^{\alpha x-\beta}\)
Wobei \(\alpha\) und \(\beta\) Konstanten sind.