Mit dem Nullstellen-Rechner von Simplexy kannst du ganz simple die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen.

Das Merkmal einer quadratischen Funktion besteht darin, dass der höchste Exponent der Variable eine \(2\) ist.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

Ganz wichtig ist dabei, das der Parameter a nicht Null ist. Den Term \(ax^2\) nennt man quadratisches Glied, \(bx\) heißt lineares Gleid und \(c\) wird als das absolute Glied bezeichnet.

Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt. Eine Parabel kann sowohl nach oben als auch nach unten geöffnet sein. Eine Parabel ist immer symmetrisch, dabei verläuft die Symmetrieachse parallel zur \(y\)-Achse. Der Schnittpunkt der Parabel mit ihrer Symmetrieachse wird Scheitelpunkt genannt. Eine Parapel kann bis zu zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse besitzen, diese Schnittpunkte werden Nullstellen genannt. Übrigens kann eine Parabel auch keine Nullstellen besitzen.

Solche Graphen kannst du mit dem Schritt für Schritt Rechner von Simplexy selber erstellen, gib eine Parabel in das Eingabefeld ein und siehe was passiert. Simplexy biete auch ein Nullstellen Rechner und ein qp-Formel Rechner mit Rechenweg an. Gib dazu am besten zur Probe mal \(x^2+2x-5=0\) ein, du erhältst die Nullstellen und den Rechenweg.
Hier kommst du zum Rechner.

Den Begriff Normalparabel verwendet man für die funktion
\(f(x)=x^2\). Ihr Scheitelpunkt befindet sich am Punkt \((0,0)\) und die Nullstelle liegt bei \(x_{0}=0\). Der Graph der Normalparabel ist unten dargestellt.

Ein Minus vor dem term \(x^2\) Term führt dazu, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. Die Funktion \(f(x)=-x^2\) ist eine Parabel die an der \(x\)-Achse gespiegelt ist. Wichtig ist dabei, dass das Minuszeichen nicht mit quadriert wird, sonst gilt
\(f(x)=(-x)^2=x^2\) denn \(-x\cdot -x = x^2\).

Eine Parabel kann gestaucht oder gestreckt werden, mit dem Parameter \(a\) im Term \(f(x)=ax^2\) kann Einfluss auf die Stauchung und Streckung der Parabel genommen werden. Wenn \(a\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt, dann wird die Parabel gestaucht. Ist \(a\) größer als \(1\), so wird die Parabel gestreckt.

Mit dem Parameter \(c\) in einer quadratischen Funktion \(f(x)=x^2+c\) kann die Parabel entlang der \(y\)-Achse verschoben werden. Dabei gilt:

Um eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse zu bekommen, muss man den Parameter \(d\) in der Parabel \(f(x)=(x+d)^2\) verändern.
Hier gilt:

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion lässt sich mit Hilfe einer allgemeinen Formel sehr leicht berechnen. Für eine allgemeine Parabel mit der Funktion
\(f(x)=ax^2+bx+c\) liegt der Scheitelpunkt bei der Koordninate:

\((\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ermittelt man indem man die Gleichung
\(x^2+px+q=0\) löst. Die Lösung dieser Gleichung erhälts du mit der pq-Formel oder auch Mitternacht-Formel genannt.

Die pq-Formel lautet:

\(x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)

Wie du siehst steht in der pq-Formel \(x_{1/2}\) weil eine quadratische Funktion bis zu zwei Nullstellen bestizen kann. Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen. Um die Anzahl an Nullstellen zu bekommen musst du die Diskriminante
\(D=(\frac{p}{2})^2-q\) berechnen, dass ist der Term unter der Wurzel in der pq-Formel. Es gilt:

In dem unteren Graph sind zwei Parabeln abgebildet, die blaue Parabel besitzt keine Nullstellen während die rote Parabel zwei Nullstellen besitzt.

Mit dem Rechner von Simplexy kannst du Nullstellen quadratischer Funktionen berechen. Gib dazu am besten zur Probe mal \(x^2+2x-5=0\) ein, du erhältst die Nullstellen und den Rechenweg.
Hier kommst du zum Rechner.