Quadratische Funktion


Nullstellen Rechner und pq-Formel Rechner

Mit dem Nullstellen-Rechner von Simplexy kannst du ganz simple die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen.



Quadratische Funktion





Einführung:

Das Merkmal einer quadratischen Funktion besteht darin, dass der höchste Exponent der Variable eine \(2\) ist.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

\(f(x)=ax^2+bx+c\)

Ganz wichtig ist dabei, das der Parameter a nicht Null ist. Den Term \(ax^2\) nennt man quadratisches Glied, \(bx\) heißt lineares Gleid und \(c\) wird als das absolute Glied bezeichnet.

Beispiele

  • \(f(x)=x^2\)
  • \(f(x)=x^2+x\)
  • \(f(x)=x^2+5\)
  • \(f(x)=x^2-2x+1\)
  • \(f(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^2+2x+\frac{1}{4}\)

Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt. Eine Parabel kann sowohl nach oben als auch nach unten geöffnet sein. Eine Parabel ist immer symmetrisch, dabei verläuft die Symmetrieachse parallel zur \(y\)-Achse. Der Schnittpunkt der Parabel mit ihrer Symmetrieachse wird Scheitelpunkt genannt. Eine Parapel kann bis zu zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse besitzen, diese Schnittpunkte werden Nullstellen genannt. Übrigens kann eine Parabel auch keine Nullstellen besitzen.

Beispiele für Parabeln:

Solche Graphen kannst du mit dem Schritt für Schritt Rechner von Simplexy selber erstellen, gib eine Parabel in das Eingabefeld ein und siehe was passiert. Simplexy biete auch ein Nullstellen Rechner und ein qp-Formel Rechner mit Rechenweg an. Gib dazu am besten zur Probe mal \(x^2+2x-5=0\) ein, du erhältst die Nullstellen und den Rechenweg.
Hier kommst du zum Rechner.


Regel

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

\(f(x)=ax^2+bx+c\)




Normalparabel



Den Begriff Normalparabel verwendet man für die funktion
\(f(x)=x^2\). Ihr Scheitelpunkt befindet sich am Punkt \((0,0)\) und die Nullstelle liegt bei \(x_{0}=0\). Der Graph der Normalparabel ist unten dargestellt.




Vorzeichen der Parabel


Ein Minus vor dem term \(x^2\) Term führt dazu, dass die Parabel nach unten geöffnet ist. Die Funktion \(f(x)=-x^2\) ist eine Parabel die an der \(x\)-Achse gespiegelt ist. Wichtig ist dabei, dass das Minuszeichen nicht mit quadriert wird, sonst gilt
\(f(x)=(-x)^2=x^2\) denn \(-x\cdot -x = x^2\).




Streckung und Stauchung

Eine Parabel kann gestaucht oder gestreckt werden, mit dem Parameter \(a\) im Term \(f(x)=ax^2\) kann Einfluss auf die Stauchung und Streckung der Parabel genommen werden. Wenn \(a\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt, dann wird die Parabel gestaucht. Ist \(a\) größer als \(1\), so wird die Parabel gestreckt.




Verschiebung entlang der \(x\)- und \(y\)-Achse

Mit dem Parameter \(c\) in einer quadratischen Funktion \(f(x)=x^2+c\) kann die Parabel entlang der \(y\)-Achse verschoben werden. Dabei gilt:

  • Wenn \(c\) größer als Null ist, wird der Graph nach oben verschoben.
  • Wenn \(c\) kleiner als Null ist, wird der Graph nach unten verschoben.

Um eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse zu bekommen, muss man den Parameter \(d\) in der Parabel \(f(x)=(x+d)^2\) verändern.
Hier gilt:

  • Für \(d\) größer als Null, wird der Graph nach links verschoben.
  • Für \(d\) kleiner als Null, wird der Graph nach rechts verschoben.




Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion lässt sich mit Hilfe einer allgemeinen Formel sehr leicht berechnen. Für eine allgemeine Parabel mit der Funktion
\(f(x)=ax^2+bx+c\) liegt der Scheitelpunkt bei der Koordninate:

\((\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)


Regel:

Der Scheitelpunkt einer quatradischen Funktion
\(f(x)=ax^2+bx+c\) berechnet sich über

\((\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)




Nullstellen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ermittelt man indem man die Gleichung
\(x^2+px+q=0\) löst. Die Lösung dieser Gleichung erhälts du mit der pq-Formel oder auch Mitternacht-Formel genannt.

Die pq-Formel lautet:

\(x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)



Wie du siehst steht in der pq-Formel \(x_{1/2}\) weil eine quadratische Funktion bis zu zwei Nullstellen bestizen kann. Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen. Um die Anzahl an Nullstellen zu bekommen musst du die Diskriminante
\(D=(\frac{p}{2})^2-q\) berechnen, dass ist der Term unter der Wurzel in der pq-Formel. Es gilt:

  • Wenn \(D\) kleiner als null ist, dann existieren keine Nullstellen.
  • Wenn \(D=0\) ist, dann existiert genau eine Nullstelle.
  • Wenn \(D\) größer als null ist, dann existieren zwei Nullstellen.

In dem unteren Graph sind zwei Parabeln abgebildet, die blaue Parabel besitzt keine Nullstellen während die rote Parabel zwei Nullstellen besitzt.


Regel:

Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen.
Die Nullstellen von \(f(x)=ax^2+bx+c\) berechnen sich mit der pq-Formel:

\(x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\)



Mit dem Rechner von Simplexy kannst du Nullstellen quadratischer Funktionen berechen. Gib dazu am besten zur Probe mal \(x^2+2x-5=0\) ein, du erhältst die Nullstellen und den Rechenweg.
Hier kommst du zum Rechner.