Gestreckte und Gestauchte Parabel
Parabel Rechner
Mit dem Parabelrechner von Simplexy kannst du ganz simple die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen, eine Parabel zeichnen lassen uvm.
Streckung und Stauchung einer Parabel Überblick
Aus dem Beitrag zu den quadratischen Funktionen und Parabeln wissen wir, dass die Normalform bzw. die allgemeine Form einer quadratischen Funktion wie folgt lautet:
Normalform einer Parabel
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
Über den Parameter \(a\) in der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion, kann eine Parabel gestreckt oder gestaucht werden werden. Ist \(a\) größer als \(1\), dann wird die Parabel gestreckt, ist \(a\) hingegen kleiner als \(1\), so wird die Parabel gestaucht. Du kannst mit dem Online Rechner von Simplexy verschiedene Streckungsfaktoren ausprobieren und direkt sehen wie sich die Form der Parabel ändert.
Streckungsfaktor
Der Parameter oder Faktor \(a\) wird Streckungsfaktor genannt.
Um die Streckung und Stauchung einer Parabel besser verstehen zu können, betrachten wir die folgende einfache Parabel
\(f(x)=ax^2\)
Im unteren Bild ist der Graph einer gestreckten Parabel (rot) und einer gestauchte Parabel (blau) dargestellt. Erstelle zur Probe mit dem Rechner die gleichen Graphen nach.
Die gestauchte Parabel ist rot dargestellt. Dabei ist der Formfaktor \(\textcolor{red}{a=2}\) und damit größer als eins. Die gestreckte Parabel ist blau dargestellt. Dabei ist der Formfaktor \(\textcolor{blue}{a=\frac{1}{2}}\) und damit kleiner als eins.
Parabel Formfaktor
In der Allgemeinen Form einer Parabel \(f(x)=ax^2+bx+c\) wird der Faktor \(a\) Formfakor genannt. Er gibt an wie "breit" die Parabel ist. Zudem kann er angeben ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Ein positiver Formfaktor führt dazu, dass die Parabel nach oben geöffnet ist. Ein negativer Formfaktor führt zu einer Parabel, die nach unten geöffnet ist. Ist der Formfaktor zwischen \(0\) und \(1\) groß, so wird die Parabel gegenüber der Normalparabel sehr breit sein. Man sagt dazu die Parabel ist gestaucht. Ist der Formfaktor jedoch größer als eins, so wird die Parabel gegenüber der Normalparabel schmal sein. Die Parabel ist dann gestreckt.
Parabel Formfaktor
Der Formfaktor ist die Konstante, die vor dem \(x^2\) steht.
In der Funktion \(f(x)=ax^2\) ist \(a\) der Formfaktor.Ist \(a>1\) so hat mein eine gestreckte Parabel. Sie ist "schmaler" als die Normalparabel.
Ist \(0\lt a\lt 1\) so hat man eine gestauchte Parabel. Sie ist "breiter" als die Normalparabel.
Ist der Formfaktor \(a=1\), so ist die Parabel genauso "breit" wie die Normalparabel.
Nach unten geöffnete Parabel
Eine nach unten geöffnete Parabel kann ebenfalls gestreckt oder gestaucht sein.
Eine nach unten geöffnete Parabel erhält man, wenn der Streckungsfaktor \(a\) negativ ist.
Die Funktion
\(f(x)=-2x^2\)
ist nach unten geöffnet, darüber hinaus ist ist die Parabel gestreckt.
Die Funktion
\(\begin{aligned} f(x)=-\frac{1}{2}x^2 \end{aligned}\)
ist ebenfalls nach unten geöffnet. Es handelt sich dabei jedoch um eine gestauchte Parabel die nach unten geöffnet ist.
Nach unten geöffnete Parabel Formfaktor
Der Formfaktor ist die Konstante, die vor dem \(x^2\) steht.
In der Funktion \(f(x)=ax^2\) ist \(a\) der Formfaktor.Ist der Formfaktor negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
Ist \(a\lt -1\) so hat mein eine gestreckte Parabel die nach unten geöffnet ist
Ist \(-1\lt a\lt 0\) so hat man eine gestauchte Parabel die nach unten geöffnet ist.
Ist der Formfaktor \(a=-1\), so hat man eine nach unten geöffnet Normalparabel.
Parabel Streckungsfaktor ablesen
Wir wissen also nun, dass man die Form einer Parabel mit dem Streckungsfaktor verändern kann. Der Streckungsfaktor kann auch bei einer in x Richtung verschobene Parabel oder bei einer in y Richtung verschobene Parabel vorhanden sein. Bei einer verschobenen Parabel kann man den Streckungsfaktor ablesen. Dazu muss man in der Funktionsgleichung der Parabel den Term vor dem \(x^2\) ablesen. Jede Parabel kann in der Normalform oder in der Scheitelpunktform angegeben werden.
Normalform und Scheitelpunktform
Normalform
\(f(x)=\textcolor{blue}{a}x^2+bx+c\)
Scheitelpunktform
\(f(x)=\textcolor{blue}{a}(x+d)^2+e\)
Um raus zu finden ob eine verschobene Parabel gestaucht oder gestreckt ist, muss man den Betrag von \(\textcolor{blue}{a}\) ermitteln.
Betrag vom Streckungsfaktor
Der Betrag vom Streckungsfaktor \(a\) gibt an, ob man eine gestreckte oder gestauchte Parabel hat.
-
Ist der Betrag \(|a|>1\) so ist die Parabel gestreckt (schmaler als die Normalparabel).
-
Ist der Betrag \(0\lt |a|\lt 1\) so ist die Parabel gestaucht (breiter als die Normalparabel).
Beispiele Streckungsfaktor ablesen
Um die Streckung und Stauchung einer Parabel besser zu verstehen, werden wir nun ein paar Beispiele betrachten. Im folgenden werden verschobene Parabeln entweder in der Normalform und in der Scheitelpunktform gegeben sein. Wir werden den Streckungsfaktor ablesen und so raus finden, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist.
Streckung und Stauchung Beispiel 1
Gegeben ist die quadratische Funktion
\(f(x)=\textcolor{blue}{-2}(x-2)^2+2\)
Ist diese Parabel gestreckt oder gestaucht?
Lösung
Die gegebene Parabel ist in der Scheitelpunktform dargestellt. Um raus zu finden ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist, müssen wir den Term vor dem \(x^2\) ablesen.
Der Streckungsfaktor lautet \(\textcolor{blue}{a=-2}\), der Betrag vom Streckungsfaktor ist \(|\textcolor{blue}{a}|=|\textcolor{blue}{-2}|=\textcolor{blue}{2}\). Der Betrag vom Streckungsfaktor ist größer als eins. Daher ist die Parabel gestreckt.
Streckung und Stauchung Beispiel 2
Gegeben ist die folgende quadratische Funktion
\(\begin{aligned} f(x)=\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}x^2-4 \end{aligned}\)
Ist diese Parabel gestreckt oder gestaucht?
Lösung
Die gegebene Parabel ist in der Normalform dargestellt. Um raus zu finden ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist, müssen wir den Term vor dem \(x^2\) ablesen.
Der Streckungsfaktor lautet \(\textcolor{blue}{a=\frac{1}{2}}\), der Betrag vom Streckungsfaktor ist \(|\textcolor{blue}{a}|=|\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}|=\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\). Der Betrag vom Streckungsfaktor ist kleiner als eins. Daher ist die Parabel gestaucht.