Übersicht Parabel verschieben


Parabel Rechner

Mit dem Parabelrechner von Simplexy kannst du ganz simple die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen, eine Parabel zeichnen lassen uvm.



Parabel Verschieben

In diesem Beitrag wirst du sehen wie man eine Parabel in x Richtung verschieben und eine Parabel in y Richtung verschieben kann.



Doch bevor wir mit der Verschiebung einer Parabel loslegen, gucken wir uns nochmal die Normalform bzw. allgemeine Form einer quadratischen Funktion an. Du kannst dir im Beitrag quadratische Funktionen und Parabeln einen vollständigen Überblick verschaffen.

Normalform einer Parabel

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:

\(f(x)=ax^2+bx+c\)



Parabel entlang der y Achse verschieben

Eine Parabel entlang der y Achse verschieben zu können ist sehr einfach. Dazu betrachten wir die folgende quadratische Funktion:

\(f(x)=x^2+\textcolor{blue}{c}\)

Wobei hier der Parameter \(\textcolor{blue}{c}\) für die Verschiebung einer Parabel in y Richtung zuständig ist. Eine Verschiebung entlang der y Achse entspricht einer Verschiebung nach Oben oder Unten im Koordinatensystem.

Verschiebung in y Richtung

Eine Verschiebung entlang der y Achse ist vom Parameter \(c\) abhängig.

\(f(x)=x^2+c\)

  • Ist \(c\) größer als Null, so wird die Parabel nach oben verschoben.
  • Ist \(c\) kleiner als Null, so wird die Parabel nach unten verschoben.


In der folgenden Abbildung ist eine nach oben verschobene Parabel

\(\textcolor{blue}{f(x)=x^2+1}\)

und eine nach unten verschobene Parabel dargestellt

\(\textcolor{red}{f(x)=x^2-1}\)



Die nach oben verschoben Parabel hat einen Verschiebungsfaktor \(\textcolor{blue}{c=+1}\) während die nach unten verschobe Parabel einen Verschiebungsfaktor \(\textcolor{red}{c=-1}\) besitzt.

Verschiebungsfaktor

Der Parameter \(c\) in der Normalform einer quadratischen Funktion wird Verschiebungsfaktor genannt.


Nach unten geöffnete Parabel verschieben

Eine nach unten geöffnete Parabel kann man ebenfalls in y Richtung verschieben.



Die Parabel

\(f(x)=-x^2+4\)

ist um 4 Einheiten nach oben verschoben.

Parabel entlang der x Achse verschieben

Man kann eine Parabel entlang der x Achse verschieben. Dazu betrachten wir die folgende quadratische Funktion:

\(f(x)=(x+\textcolor{blue}{d})^2\)

Der Parameter \(\textcolor{blue}{d}\) gibt die Verschiebung in x Richtung an.


Verschiebung in x Richtung

Eine Verschiebung entlang der x Achse ist vom Parameter \(d\) abhängig.

\(f(x)=(x+d)^2\)

  • Ist \(d\) größer als Null, dann wird die Parabel nach links verschoben.
  • Ist \(d\) kleiner als Null, dann wird die Parabel nach rechts verschoben.


In der folgenden Abbildung sind zwei Parabeln dargestellt. Die blaue Parabel

\(\textcolor{blue}{f(x)=(x+2)^2}\)

ist nach links verschoben. Die rote Parabel

\(\textcolor{red}{f(x)=(x-2)^2}\)

ist nach rechts verschoben.



Der Parameter \(d\) wird ebenfalls Verschiebungsfaktor genannt.


Scheitelpunktform Verschiebung

Die Scheitelpunktform einer Parabel ist besser geeignet um die Verschiebung einer Parabel ablesen zu können als die Normalform.

Scheitelpunktform

\(\begin{aligned} f(x)=a(x+d)^2+c \end{aligned}\)


Aus der Scheitelpunktform einer Parabel kann man die Verschiebung leicht ablesen. Der Parameter \(d\) gibt die Verschiebung in x Richtung an und der Parameter \(c\) gibt die Verschiebung in y Richtung an. Der Parameter \(a\) beschreibt die Streckung und Stauchung einer Parabel.

Beispiele Verschiebung einer Parabel

In den folgenden Beispielen werden wir sehen wie man die Verschiebung einer Parabel ablesen kann.

Beispiel 1 Parabel verschieben

Gegeben ist die folgende Parabel in der Scheitelpunktform:

\(f(x)=-2(x\textcolor{red}{-2})^2\textcolor{green}{+2}\)

Wie ist die Parabel verschoben?

Lösung:



Die Verschiebung der Parabel kann man ganz einfach am Verschiebungsfaktor ablesen. Der Verschiebungsfaktor \(\textcolor{red}{d=-2}\) daher ist die Parabel um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Der Verschiebungsfaktor \(\textcolor{green}{c=2}\) daher ist die Parabel zusätzlich um 2 Einheiten nach oben verschoben.

Beispiel 2 Parabel verschieben

Gegeben ist die folgende Parabel

\(f(x)=\frac{1}{2}x^2\textcolor{green}{-4}\)

Wie ist die Parabel verschoben?

Lösung:



Die Verschiebung der Parabel kann man ganz einfach am Verschiebungsfaktor ablesen. Der Verschiebungsfaktor \(\textcolor{green}{c=-4}\) daher ist die Parabel um 4 Einheiten nach unten verschoben.